24 м² и 30°.
Объяснение:
Дано:
АВСА1В1С1-правильная усеченная пирамида
АВ=ВС=АС=8 см
А1В1=В1С1=А1С1=5 см
OO1= 3 см
Найти: площадь сечения и угол между ним и нижним основанием
1) СА1В - искомое сечение, т.к. точки А1С и А1В находятся в одних плоскостях.
2)Ось правильной усеченной пирамиды совпадает с осью соответствующей полной пирамиды, поэтому OO1 является высотой усеченной пирамиды. О1 — центр окружности, описанной около треугольника А1В1С1, О - центр окружности, вписанной в треугольник АВС.
Формула для радиуса описанной окружности около равностороннего треугольника:
R=а*
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник:
r= а*
R=А1О1=
r=ОН=
=
Проведем АН⊥ВС в ΔАВС. ОО1⊥(АВС)⇒ОО1⊥АН.
По теореме о трех перпендикулярах А1Н⊥ВС в ΔСА1В.
Угол ∠А1НА - линейный угол искомого двугранного угла.
Рассмотрим ΔА1О1К и ΔНОК.
∠А1О1К=∠НОК=90°, ∠А1КО1=∠НКО как вертикальные.
⇒ ΔА1О1К подобен ΔНОК ( по двум углам).
Из подобия Δ следует:
А1О1:ОН=О1К:КО
А1О1*КО=ОН*О1К
Пусть О1К= х, тогда КО=(3-х):
* (3-х) =
5√3(3-х)=4√3*х
9√3х=15√3
х=5/3
О1К = 5/3,
КО=3-5/3=4/3
ΔА1О1К(∠О1=90°): по т.Пифагора
А1К=√(А1О1²+О1К²)= √(75/9+25/9)=√(100/9)=10/3
ΔОКН(∠О=90°): по т.Пифагора
КН=√(ОН²+КО²)=√(16/9+48/9)=8/3
А1Н=А1К+КН=10/3+8/3=18/3=6 см
Площадь искомого сечения это площадь ΔСА1В:
S = 1/2 * ВС* А1Н = 1/2 * 8 * 6 = 24 см²
3) Рассмотрим ΔКОН(∠О=90°)
tg ∠KHO = KO/OH = 
: = 
Тогда ∠KHO = 30°.
Т.к. ∠А1НА = ∠KHO, то ∠А1НА=30°
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению. Значит ОС = 10 см - расстояние от центра шара до сечения.
Пусть А - точка сечения, лежащая на поверхности шара. Тогда ОА = 26 см - радиус шара.
ΔАОС: ∠АСО = 90°, по теореме Пифагора
АС = √(АО² - ОС²) = √(26² - 10²) = √(676 - 100) = √576 = 24 см
АС - радиус сечения.
Площадь сечения:
S = πr² = π · AC² = π · 24² = 576π см²