Question

Вправильной треугольной пирамиде sabc с вершиной s, все рёбра которой равны 6, точка м – середина ребра bc, точка о – центр основания пирамиды, точка f делит отрезок so в отношении 1: 2, считая от вершины пирамиды. a) найдите отношение, в котором плоскость cmf делит отрезок sa, считая от вершины s.

Answer 1

Рассмотрим ΔASM; AS=6; SM=AM=3√3 как высоты равносторонних треугольников. Высота SO пирамиды делит AM в отношении AO:OM= 2:1;  по условию SF:FO=1:2.
Продолжим MF до пересечения с AS в точке K; поскольку точки M и F лежат в плоскости CMF, точка K также лежит в этой плоскости и поэтому является точкой пересечения плоскости CMF с ребром AS.

Для нахождения отношения SK:KA применим теорему Менелая к треугольнику ASO и прямой MK:

(SK/KA)·(AM/MO)·(OF/FS)=1;

(SK/KA)·(3/1)·(2/1)=1;

SK/KA=1/6.

Если Вы по какой-то неизвестной мне причине до сих пор не знаете теорему Менелая, или учительница не разрешает ей пользоваться, то Вам придется воспользоваться скучной теоремой о пропорциональных отрезках. Для этого придется к тому же сделать дополнительное построение - провести прямую через точку  O параллельно MK до пересечения с AS в точке L.

SK/KL=SF/FO=1/2;
KL/LA=MO/OA=1/2⇒
в SK одна часть, в LK в два раза больше, то есть две части, 
в LA в два раза больше, чем в LK, то есть четыре части⇒
в KA шесть частей⇒ SK/KA=1/6