R - радиус, m - средняя линяя, h - высота трапеции, d - расстояние от центра до боковой стороны, Х - угол между боковой стороной и высотой трапеции.
Точно такой же угол Х - между средней линией и отрезком d, соединяющим центр окружности и середину боковой стороны. Углы эти равны потому что стороны их попарно перпендикулярны.
Поэтому средняя линяя равна m = 2*d*cos(X);
Легко видеть, что d = R/2, то есть m = R*cos(X)
Боковая сторона, очевидно, равна с = R*√3,
ну и высота h = с*cos(X) = R*√3*cos(X) = m*√3;
S = m^2√3 = 36√3 при m = 6
Ох я, блин :(((
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой трапеции h, проведенной из вершины меньшего основания, диагональю трапециии и её проекцией на большее основание, угол между диагональю и большим основанием равен 60 градусам - это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол в 120 градусов, соответствующий боковой стороне.
Поэтому проекция диагонали на большее основание равна h/√3;
Эта проекция (то есть кусочек основания между дальней вершиной и точкой-основанием высоты) равна средней линии, что показать проще простого.
(если проекция боковой стороны на большее основание а равна x, то проекция диагонали равна а - х, при этом меньшее основание b равно а - 2*х, откуда видно, что
a - x = (a + b)/2)
Отсюда сразу следует ответ :)
Дано: треуг. АВС АВ=ВС=АС. т. А,В,С принадлежат окружности с центром О.
Найти АВ
Решение.
Центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров. В правильном треуг. серед. перп. совпадают с высотами и медианами.
В точке пересечения медианы делятся в отношении 1:2. Поэтому радиус равен 2/3 от медианы m.
(2/3)*m = 3,5
Отношение m/AB=sin 60°
Решая это уравнение относительно АВ и учитывая, что sin 60°=√3/2,
получим
АB=3,5√3
Другое решение этой задачи в одно действие показано на рисунке.