Question

Осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник, один из углов которого 120°, а основание 12 см. найдите объём конуса и площадь его полной поверхности.

Answer 1

 Δ $AMB-$  осевое сечение конуса
 Δ $AMB-$   равнобедренный
 $\ \textless \ AMB=120к$
 $AB=12$ см
$V_k-$ ?
$S_{nol}-$ ?

Δ $AMB-$   равнобедренный
$AM=BM$
$\ \textless \ MAB=\ \textless \ MBA$ ( по свойству углов равнобедренного треугольника)
$\ \textless \ AMB+\ \textless \ MAB+\ \textless \ MBA=180к$
$120к+2\ \textless \ MAB=180к$
$2\ \textless \ MAB=60к$
$\ \textless \ MAB=30к$
$MO$ ⊥$AB$
$AO=OB=R=6$ см
Δ $MOA-$ прямоугольный
$\frac{MO}{AO}=tg\ \textless \ MAO$
$\frac{MO}{6}=tg\ \textless \ 30к$
$MO=AO*tg30к$
$MO=6* \frac{ \sqrt{3} }{3} =2 \sqrt{3}$ см
$\frac{AO}{AM}=cos\ \textless \ MAO$
$\frac{6}{AM}=cos\ \textless \ 30к$
$\frac{6}{AM}= \frac{ \sqrt{3} }{2}$
$AM=4 \sqrt{3}$ см
$V_k= \frac{1}{3}\pi R^2H$
$V_k= \frac{1}{3}\pi*6^2*2 \sqrt{3} =24 \sqrt{3} \pi$ см³
$S_{nol}=S_{ocn}+S_{bok}$
$S_{ocn}= \pi R^2$
$S_{ocn}=6^2 \pi =36 \pi$ см²
$S_{bok}= \pi RL$
$AM=L=4 \sqrt{3}$
$S_{bok}=6*4 \sqrt{3} \pi =24 \sqrt{3} \pi$ см²
$S_{nol}=36 \pi +24 \sqrt{3} \pi$ см²

ответ: 24√3 см³;  36π+24√3π см²