∠A = α + β
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, значит
∠D = 180° - (α + β).
Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними:
S = AB · AD · sinA.
∠ACD = ∠ВАС = α как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС.
Из ΔADC по теореме синусов:
d : sinD = CD : sinβ = AD : sin∠ACD
Так как CD = AB, получаем:
d : sinD = АВ : sinβ = AD : sinα
sinD = sin(180° - (α + β)) = sin(α + β) - по формуле приведения.
Из равенства d : sinD = АВ : sinβ выразим АВ:
AB = d · sinβ / sinD = d · sinβ / sin(α + β)
Из равенства d : sinD = AD : sinα выразим AD:
AD = d · sinα / sinD = d · sinα / sin(α + β)
S = (d · sinβ / sin(α + β)) · (d · sinα / sin(α + β)) · sinA =
= (d² · sinα · sinβ / sin²(α + β)) · sin(α + β) =
= d² · sinα · sinβ / sin(α + β)
а² + (а + 10)² = (а + 20)²
а² + а² + 20а + 100 = а² + 40а + 400
2а² - а² + 20а - 40а + 100 - 400 = 0
а² - 20а - 300 = 0
По обратной теореме Виета:
а1 + а2 = 20
а1•а2 = -300
а1 = 30
а2 = -10 - не уд. условию задачи.
Значит, меньший катет равен 30 см.
Тогда больший катет равен 30 + 10 = 40 см, а гипотенуза - 50 см.
ответ: 50 см.