Сфера радиуса 6 касается плоскости треугольника abc в центре описанной около него окружности. найдите расстояние от центра сферы до вершин треугольника, если ав = 3, ас = 4, вс = 5.
Дан треугольник с отношением сторон 3:4:5. Это отношение сторон "египетского" треугольника. ∆ АВС- прямоугольный, АВ и АС - его катеты, ВС - гипотенуза, Н - середина ВС.
Центром окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы. ВН=СН=5:2=2,5.
Обозначим центр сферы О.
Н - середина гипотенузы, АН - медиана ∆ АВС, и по свойству медианы прямоугольного треугольника АН=ВН=СН, т.е. все эти точки лежат на описанной окружности.
Сфера касается ВС в её середине, радиус ОН сферы касается и, значит, перпендикулярен плоскости ∆ АВС в точке Н, следовательно, перпендикулярен любой прямой, проходящей через Н. Искомые расстояния - наклонные с равными проекциями АН=ВН=СН. Если равны проекции наклонных к плоскости, проведенных из одной точки, то равны и наклонные. ⇒ ОА=ОВ=ОС.
По т.Пифагора ОА=√(ОН²+АН²)=√(36+6,25)=6,5 (ед.длины)
Решается очень просто, просто нужно немножко подумать.Постараюсь объяснить! из точки В к основанию АД опускаешь высоту, получается высота ВК. из точки С опускаешь высоту к основанию АД, получается высота СМ. ВСМК-прямоугольник, значит ВС=КМ=4. Из АД-КМ=18-4=14 АК=МД=14/2=7 В прямоугольном треугольнике, против угла 30 градусов, лежит катет равный половине гипотенузы. В треугольнике АВК угол А 60 градусов(по условию), угол К 90 градусов(ВК высота), значит угол В=180-(90+60)=30 Катет АК лежит против угла В, то есть против угла 30 градусов, отсюда следует: АВ=2хАК=2х7=14
Если известны стороны! Проведем две медианы к боковым сторонам треугольника. Так как он равнобедренный, медианы эти равны и отсекают от исходного треугольника два меньших, равных между собой. Угол при основании неизвестен, поэтому обозначим его α и его косинус - cosα Выразим медиану одного из образовавшихся треугольников по теореме косинусов. Чтобы найти косинус угла при основании, применим теорему косинусов к данному в условии задачи треугольнику, стороны которого известны. Подставив найденное значение cosα в уравнение медианы, найдем ее длину.
Дан треугольник с отношением сторон 3:4:5. Это отношение сторон "египетского" треугольника. ∆ АВС- прямоугольный, АВ и АС - его катеты, ВС - гипотенуза, Н - середина ВС.
Центром окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, является середина его гипотенузы. ВН=СН=5:2=2,5.
Обозначим центр сферы О.
Н - середина гипотенузы, АН - медиана ∆ АВС, и по свойству медианы прямоугольного треугольника АН=ВН=СН, т.е. все эти точки лежат на описанной окружности.
Сфера касается ВС в её середине, радиус ОН сферы касается и, значит, перпендикулярен плоскости ∆ АВС в точке Н, следовательно, перпендикулярен любой прямой, проходящей через Н. Искомые расстояния - наклонные с равными проекциями АН=ВН=СН. Если равны проекции наклонных к плоскости, проведенных из одной точки, то равны и наклонные. ⇒ ОА=ОВ=ОС.
По т.Пифагора ОА=√(ОН²+АН²)=√(36+6,25)=6,5 (ед.длины)