α = 45°
Объяснение:
Смотри прикреплённый рисунок.
Из вершины В ромба проводим высоту ВК.
ВК = а · sin A = a · sin 60° = 0.5a√3.
Соединим точку Е с точкой К. ВК является проекцией наклонной ЕК на плоскость АВСD. Поскольку ВК - высота ромба. то ВК ⊥ AD.
По теореме о трёх перпендикулярах: если AD ⊥ BK (проекции наклонной ЕК), то AD⊥ ЕК. Следовательно, ∠ЕКВ = α является линейным углом, служащим мерой двугранного угла между плоскостями ADE и АВСD.
Найдём этот угол.
tg α = BE : BK = 0.5a√3 : 0.5a√3 = 1.
Следовательно, ∠α = 45°
ВК⊥РК, РК∈β, значит РК - проекция наклонной ВР на плоскость β.
Прямоугольные тр-ки ВРЕ и ВРF равны т.к. острые углы равны и сторона ВР общая, значит РЕ=PF.
ВК⊥КЕ, ВК⊥РЕ ⇒ КЕ⊥РЕ. Аналогично KF⊥PF.
Прямоугольные тр-ки РKЕ и РKF равны по общей гипотенузе и катетам РЕ=PF, значит ∠КРЕ=КРF.
Доказано.