Question

Поставил на окружности несколько точек. затем он измерил все расстояния между этими точками. получилось не более 50 различных чисел. какое наибольшее количество точек он мог поставить?

Answer 1

Рассмотрим одну из отмеченных точек.
Заметим, что на определённом расстоянии R от неё может быть не более двух точек, т.к. каждая такая точка лежит на двух окружностях: на исходной и на окружности с центром в выбранной точке и радиусом R, - а две окружности пересекаются не более чем в двух точках.
Так как всего расстояний не более 50, то точек, не считая выбранной, не более 100, а всего не более 101.

Если точки стоят в вершинах правильного 101-угольника, то расстояний 50, а больше точек не может быть по доказанному.

Значит, наибольшее количество точек равно 101.

Answer 2

Еще один вариант решения.
Чтобы ИЗМЕРИТЬ расстояние между двумя точками, надо провести между ними прямую и измерить длину отрезка между этими точками.
Геометр, расставляя точки на окружности получил вписанный многоугольник.
Формула КОЛИЧЕСТВА диагоналей многоугольника:
K=n*(n-3)/2.
Расположив, к примеру, 5 точек на окружности, он получил пятиугольник с 5 диагоналями, да еще 5 сторон - итого 10 отрезков, которые он измерил.
Предположим, что все отрезки разные. Значит, для получения 10 разных чисел он расставил 5 точек.
Но предположим, что многоугольник получился правильным.
И тогда мы увидим, что РАЗНЫХ чисел у геометра получилось только 2 это 1 сторона (все стороны равны) и 1 диагональ (все остальные равны измеренной уже диагонали).
Получилось так потому, что правильный n-угольник имеет n осей симметрии, проходящих через его центр.
Если n - четно, то оси симметрии правильного многоугольника содержат
противоположные вершины.
Если n - нечетно, то осями симметрии правильного многоугольника являются прямые, каждая из которых проходит через вершину многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне.
Проведем ось симметрии для нашего 5-угольника. Она пройдет через вершину многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне.
Рассмотрим отрезки по одну из сторон оси симметрии. Это две стороны 5-угольника и диагональ. Стороны равны, значит имеем 2 разных измерения из 10 возможных.
Остальные повторяют значения уже измеренных расстояний. Значит геометр может расставить дополнительные точки на окружности.
Предположим, он добавил еще две точки так , чтобы получился правильный 7-угольник, у которого ось симметрии так же пройдет через вершину многоугольника и середину противоположной стороны.
Геометр получил 3 разных отрезка по одну из сторон оси симметрии - одну сторону и две разных диагонали. Все остальные измерения расстояний приведут к повторению уже полученных трех разных величин.
Итак, построив правильный 7-угольник, он получил 3 разных отрезка или наоборот, чтобы получить 3 разных числа (отрезка) ему пришлось построить правильный 7-угольник.
Теперь мы можем сказать, что получили формулу для отрезков РАЗНОЙ длины в правильном многоугольнике: О=(n-1)/2, или наоборот,
n=2*O+1 - формулу для определения количества максимально возможных точек на окружности для получения заданного числа разных отрезков (чисел при измерении), где О - максимальное количество РАЗНЫХ по величине отрезков.
Тогда для получения 50 РАЗНЫХ отрезков геометр может расположить на окружности  2*50+1=101 точку, построив ПРАВИЛЬНЫЙ 101-угольник.
И это будет максимальное число точек, так как любое равенство двух отрезков при измерении уменьшает количество разных отрезков на 1.
ответ: максимальное количество точек на окружности для получения 50 разных чисел (отрезков) равно 101.

P.S. Для пояснения многословных рассуждений приведены рисунки для трех случаев расположения точек на окружности.