Уравнение первой прямой: у=х+2 это прямая проходящая через 2 точки: (0;2) и (-1;1); вторая прямая совпадает с осью ох; третья прямая проходит через точку (-1;0) параллельно оси оу; четвёртая проходит через точку (2;0) также параллельно оу; полученный четырёхугольник с вершинами в точках (-1;0); (-1;1); (2;4);(2;0) можно разбить на 2 фигуры: прямоугольник с вершинами в точках (-1;0);(-1;1);(2;1);(2;0) и прямоугольный треугольник с вершинами в точках (-1;1);(2;1);(2;4). стороны прямоугольника: 1 и 3; его площадь: 1*3=3 катеты прямоугольного треугольника: 3 и 3; его площадь: 3*3/2 = 4,5. площадь нашего первоначального четырёхугольника равна сумме площадей его частей (то есть прямоугольника и прямоугольного треугольника) = 4,5+3=7,5 ответ: 7,5.
Давайте сначала рассмотрим две точки и посмотрим, при каких условиях прямая будет равноудалена от них (первый рисунок). Я утверждаю, что так будет, если или она параллельна отрезку, соединяющему эти точки, или проходит через середину этого отрезка.
Доказательство несложно: если прямая параллельна отрезку, то расстояние от неё до любой точки отрезка одинаково; в противном случае она пересекает прямую, содержащую отрезок. Но вне отрезка она пересечь не может - см. нижний рисунок, отрезки AHa, BHb не равны, поэтому она пересекает в некоторой точке C, принадлежащей отрезку (смотрим на верхний рисунок). Опустим из точек перпендикуляры на прямую. Прямая равноудалена от точек, поэтому AHa = BHb. Кроме того, равны углы ACHa и BCHb - вертикальные. Отсюда прямоугольные треугольники ACHa и BCHb равны по катету и острому углу, и AC = CB.
Теперь возвращаемся к задаче. Будем думать, что нам даны вершины треугольника ABC. Искомая прямая не может быть параллельна более, чем одной стороне треугольника, две стороны она точно пересекает в середине. Значит, это средняя линия треугольника. Легко проверить, что средняя линия удовлетворяет условию.
ответ. (Второй рисунок) Искомая прямая - средняя линия треугольника, образованного данными точками. Задача имеет три решения - по числу средних линий.
