Формула площади треугольника
Ѕ=а•h/2
а=12 по условию. Высоту нужно найти.
Опустим высоту ВН треугольника АВС. В равностороннем треугольнике высота еще медиана и биссектриса ⇒
АН=12:2=6,
∠АВН=30°
∆ АВН - прямоугольный.
Проведем его высоту НК.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°⇒
∠КНА=90°- 60°=30°
Катет АК противолежит углу 30° и равен АН:2= 6:2=3
Тогда КВ=12-3=9
Треугольники АВН и НВК подобны по равному острому углу 30°.
Из подобия следует ВК:КН=КН:АК ⇒
КН²=АК*КВ=3°9=27 ⇒
КН=3√3
Гипотенуза ВН треугольника КВН=2•КН=6√3.
S (ABC)=BH•AC/2=(6√3)•12/2=36√3= ≈62,354 ед. площади.
PR/RL=PI/IL.
Аналогично в тр-ке PSL SI - биссектриса и PS/SL=PI/IL.
Пришли к классической теореме биссектрис для тр-ка PRS:
PI/IL=PR/RL=PS/SL.
Пусть коэффициент подобия дробей PR/RL и PS/SL равен k, тогда:
PS/SL=(PR·k)/(RL·k).
Сложим числители и знаменатели этих подобных дробей:
(PR+PS)/(RL+SL)=(PR+PR·k)/(RL+RL·k)=(PR·(1+k))/(RL·(1+k))=PR/RL.
Но RL+SL=RS, значит:
PI/IL=PR/RL=(PR+PS)/RS=(4+6)/8=10/8=5:4 - это ответ
PS. Таким образом это стандартное отношение отрезков биссектрисы на которые её делит точка пересечения биссектрис треугольника.
В общем виде отношение таких отрезков биссектрисы считая от вершины угла можно представить как (a+b)/c, где в знаменателе сторона, к которой проведена биссектриса.