Втреугольнике авс биссектриса сd делит сторону ав на отрезки вd=9 и аd=4. около треугольника описана окружность.прямая ав пересекает в точке f касательную ,проходящую через с. найдите сf
CF²=BF*AF (1) - свойство касательной и секущей к окружности из одной точки. <ACF=<ABC, так как <ABC вписанный и равен половине градусной меры дуги АС, а <ACF - угол между касательной СF и хордой АС равен половине дуги, стягиваемой этой хордой, то есть тоже равен половине градусной меры дуги АС. <CDF - внешний угол треугольника ВDC и равен сумме углов АВС и ВСD. <DCF=<ACF+<DCA. Но <DCA=<BCD, следовательно, <CDF=<DCF и треугольник FDC - равнобедренный. Значит СF=FD. Тогда уравнение (1) можно записать так: CF²=(AB+AF)*(FD-AD) или CF²=(13+CF-4)*(CF-4). Отсюда CF²=(9+CF)*(CF-4) или 5CF=36. Тогда CF=7,2. ответ: СF=7,2
1) Для начала построим данное сечение: Для построения сечения требуется построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами и соединить их отрезками: а) Можно соединять только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Точки В и С лежат в одной плоскости, значит, соединяем эти точки и получаем отрезок ВС, но ВС уже построен в ходе построения прямой призмы. Точки В и К лежат в одной плоскости → получаем отрезок ВК б) Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Грани ВВ1С1С и АА1D1D параллельны В противном случае эти грани пересекались бы, что противоречит условию: ВС || AD , B1C1 || A1D1 ( по свойству трапеции АВСD и A1B1C1D1 ) Через точку К проводим прямую, паралельную прямой ВС → получаем точку L. Но также ВС || KL, BC || AD → AD || KL || A1D1 ( AD = KL = A1D1 = 4 см ) и АК = КА1. Значит, DL = LD1 ( AK = KA1 = DL = LD1 ) Точки C и L лежат в одной плоскости → получаем отрезок CL
Из этого следует, что четырёхугольник BCLK – данное по условию сечение.
АВСD – равнобедренная трапеция → АВ = CD Боковые рёбра прямой призмы равны: АА1 = ВВ1 = СС1 = DD1 Значит, прямоугольники АВВ1А1 и CDD1C1 равны. Соответственно равны и отрезки ВК и CL. Следовательно, сечение BCLK – равнобедренная трапеция ( ВС || КL, BK = CL )
2) В трапеции АВСD опустим высоту АМ на ВС. По свойству прямой призмы КА перпендикулярен плоскости АВС, в которой лежит проекция АМ наклонной КМ. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах КМ перпендикулярен ВС. Из этого следует, что угол АМК – линейный угол двугранного угла АВСК, то есть угол АМК = 60°.
3) Площадь трапеции BCLK равна: S bclk = 1/2 × ( KL + BC ) × KM 48 = 1/2 × ( 4 + 8 ) × КМ 48 = 6 × КМ КМ = 8 см
Рассмотрим ∆ АМК (угол КАМ = 90°): cos AMK = AM/KM AM= KM × cos AMK = 8 × cos60° = 8 × 1/2 = 4 см По теореме Пифагора: КМ² = АМ² + АК² АК² = 8² – 4² = 64 – 16 = 48 АК = 4√3 см АА1 = 2 × AK = 2 × 4√3 = 8√3 см
Обьём прямой призмы рассчитывается по формуле: V ( призмы ) = S осн. × h
V ( призмы ) = S abcd × AA1 = 1/2 × ( AD + BC ) × AM × AA1 = 1/2 × 12 × 4 × 8√3 = 192√3 см²
1) Для начала построим данное сечение: Для построения сечения требуется построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами и соединить их отрезками: а) Можно соединять только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Точки В и С лежат в одной плоскости, значит, соединяем эти точки и получаем отрезок ВС, но ВС уже построен в ходе построения прямой призмы. Точки В и К лежат в одной плоскости → получаем отрезок ВК б) Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Грани ВВ1С1С и АА1D1D параллельны В противном случае эти грани пересекались бы, что противоречит условию: ВС || AD , B1C1 || A1D1 ( по свойству трапеции АВСD и A1B1C1D1 ) Через точку К проводим прямую, паралельную прямой ВС → получаем точку L. Но также ВС || KL, BC || AD → AD || KL || A1D1 ( AD = KL = A1D1 = 4 см ) и АК = КА1. Значит, DL = LD1 ( AK = KA1 = DL = LD1 ) Точки C и L лежат в одной плоскости → получаем отрезок CL
Из этого следует, что четырёхугольник BCLK – данное по условию сечение.
АВСD – равнобедренная трапеция → АВ = CD Боковые рёбра прямой призмы равны: АА1 = ВВ1 = СС1 = DD1 Значит, прямоугольники АВВ1А1 и CDD1C1 равны. Соответственно равны и отрезки ВК и CL. Следовательно, сечение BCLK – равнобедренная трапеция ( ВС || КL, BK = CL )
2) В трапеции АВСD опустим высоту АМ на ВС. По свойству прямой призмы КА перпендикулярен плоскости АВС, в которой лежит проекция АМ наклонной КМ. Значит, по теореме о трёх перпендикулярах КМ перпендикулярен ВС. Из этого следует, что угол АМК – линейный угол двугранного угла АВСК, то есть угол АМК = 60°.
3) Площадь трапеции BCLK равна: S bclk = 1/2 × ( KL + BC ) × KM 48 = 1/2 × ( 4 + 8 ) × КМ 48 = 6 × КМ КМ = 8 см
Рассмотрим ∆ АМК (угол КАМ = 90°): cos AMK = AM/KM AM= KM × cos AMK = 8 × cos60° = 8 × 1/2 = 4 см По теореме Пифагора: КМ² = АМ² + АК² АК² = 8² – 4² = 64 – 16 = 48 АК = 4√3 см АА1 = 2 × AK = 2 × 4√3 = 8√3 см
Обьём прямой призмы рассчитывается по формуле: V ( призмы ) = S осн. × h
V ( призмы ) = S abcd × AA1 = 1/2 × ( AD + BC ) × AM × AA1 = 1/2 × 12 × 4 × 8√3 = 192√3 см²
<ACF=<ABC, так как <ABC вписанный и равен половине градусной меры дуги АС, а <ACF - угол между касательной СF и хордой АС равен половине дуги, стягиваемой этой хордой, то есть тоже равен половине градусной меры дуги АС.
<CDF - внешний угол треугольника ВDC и равен сумме углов АВС и ВСD.
<DCF=<ACF+<DCA. Но <DCA=<BCD, следовательно, <CDF=<DCF и треугольник FDC - равнобедренный. Значит СF=FD.
Тогда уравнение (1) можно записать так:
CF²=(AB+AF)*(FD-AD) или CF²=(13+CF-4)*(CF-4). Отсюда
CF²=(9+CF)*(CF-4) или 5CF=36. Тогда CF=7,2.
ответ: СF=7,2