Определение: Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым".
Прямая А1С принадлежит плоскости диагонального сечения куба. Прямая B1D1 принадлежит плоскости верхнего основания куба. Эти плоскости взаимно перпендикулярны. Значит, если мы проведем прямую параллельную А1С в плоскости, содержащей плоскость диагонального сечения АА1С1С так, что эта прямая будет пересекаться с прямой B1D1, то угол между ними будет равен 90 градусов.
Или координатным методом: привяжем к вершине В куба прямоугольную систему координат.
Примем сторону куба равной 1.Тогда имеем точки:
А1(0;1;1), С(1;0;0), B1(0;0;1), D1(1;1;1) и соответственно векторы:
А1С{1;-1;-1} и B1D1{1;1;0}. Угол между векторами определяется по его косинусу, который равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей.
Скалярное произведение векторов А1С и B1D1 равно сумме произведений соответствующих координат, то есть:
1·1 + (-1)·1 + (-1)·0 = 0. Этого нам достаточно, так как если скалярнле произведение векторов равно нулю, эти вектора перпендикулярны друг другу.
Из треугольника КВМ имеем то, что он прямоугольный с углом ВМК = 30. Отсюда КВ = половине гипотенузы, те = 2. По теореме Фалеса КМ делит сторону АВ пополам, т.е. АВ = 4. Из прямоугольного треугольника АВД АВ гипотенуза равна удвоенному АВ, как катету против угла в 30 градусов. АД=8. По теореме Пифагора ВД = √64 - 16 = √48 = 4√3 см. Площадь параллелограмма равна 4*4√3 = 16√3 см². Площадь треугольника АВД равна половине площади параллелограмма, а площадь треугольника АМД равна половине площади треугольника АВД., т.к. у них одно основание АД, а высоты относятся как 1:2. Значит, площадь треугольника АМД = 16√3/4 = 4√3 см²
S=AB*BD Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и KBM. Они подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого. Угол ABD - общий прямой, а углы BAD и BKM равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых AD и КМ секущей АВ (<BKM=<A=60°). Зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, находим угол ВМК: <BMK=90-<BKM=90-60=30°. Катет ВК прямоугольного треугольника KBM, лежащий против угла ВМК в 30°, равен половине гипотенузы МК, значит ВК=4:2=2 см По теореме Пифагора найдем ВМ: BM=√MK²-BK²=√16-4=√12=2√3 см У подобных треугольников ABD и KBM коэффициент подобия k равен: k=BM : BD=1 : 2 (по условию М - середина отрезка BD). Значит, BK : AB = 1 : 2, отсюда АВ = 2*ВК=2*2=4 см BM : BD=1 : 2, отсюда BD = 2*BM=4√3 см S=4*4√3=16√3 см²
Угол равен 90°
Объяснение:
Определение: Углом между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым".
Прямая А1С принадлежит плоскости диагонального сечения куба. Прямая B1D1 принадлежит плоскости верхнего основания куба. Эти плоскости взаимно перпендикулярны. Значит, если мы проведем прямую параллельную А1С в плоскости, содержащей плоскость диагонального сечения АА1С1С так, что эта прямая будет пересекаться с прямой B1D1, то угол между ними будет равен 90 градусов.
Или координатным методом: привяжем к вершине В куба прямоугольную систему координат.
Примем сторону куба равной 1.Тогда имеем точки:
А1(0;1;1), С(1;0;0), B1(0;0;1), D1(1;1;1) и соответственно векторы:
А1С{1;-1;-1} и B1D1{1;1;0}. Угол между векторами определяется по его косинусу, который равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей.
Скалярное произведение векторов А1С и B1D1 равно сумме произведений соответствующих координат, то есть:
1·1 + (-1)·1 + (-1)·0 = 0. Этого нам достаточно, так как если скалярнле произведение векторов равно нулю, эти вектора перпендикулярны друг другу.