См. фото Пусть ОА=R=х, АВ=h=х+4. Площадь основания цилиндра S1=πR²=πх², Площадь боковой поверхности цилиндра равна S2=2πRh=2·π·х·(х+4). Площадь полной поверхности цилиндра равна S=2S1+S2; по условию S=640π. S=2π·х²+2πх(х+4)=640π. Сократим на на 2π; х²+х(х+4)=320. х²+х²+4х-320=0, 2х²+4х-320=0, сократим на 2 и получим х²+2х-160=0. Решаем квадратное уравнение, берем положительный корень х=-1+√161; R≈-1+12,7=11,7 см. h≈11,7+4=15,7 см. V=πR²h≈137·15,7·π≈2150,9см³
Проведем биссектрису DE и отрезок EF, параллельно основанию AD. Тогда EF - средняя линия трапеции ABCD. Треугольник DEF равнобедренный, так как <EDA=<DEF (как внутренние накрест лежащие при параллельных EF и AD и секущей DE), а <FDE=<EDA (так как DE - биссектриса). Тогда EF=FD=39/2=19,5 Это средняя линия трапеции. Значит основание AD = 39 -12 = 27 (так как (AD+BC)/2=39, а ВС=12). Проведем высоты ВН и СК. Естественно, что ВН=ВК. Из треугольников АВН и КСD по Пифагору выразим ВН² и СК²: (1)ВК² = 36²-АН². (2)СК² = 39²-КD². Но KD=AD - AH - HK= 27-AH - 12 = 15-AН (так как НК=ВС). Значит СК² = 39²-(15-АН)². Приравняем оба выражения (1) и (2): 36²-АН² = 39² - 15² +30*АН -АН². 30*АН = 36²-39²+15²= 0 !! Следовательно, трапеция-то прямоугольная! (но это и не важно). Высота ее из (1) равна h = 36. Тогда площадь трапеции S = [(AD+BC)/2]*BH = 19,5*36 = 702.
1) Биссектриса СК делит угол ВСД на 2 равных угла <ВСК = <ДСК. 2) <ВСК=<СМД как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АД и секущей СК. Получается треугольник СДМ равнобедренный СД=МД=12 (т.к. углы при основании равны). Тогда АМ=АД-МД=30-12=18. 3) <АМК=<СМД как вертикальные углы. 4) <ВКС=<ДМК как как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и СД и секущей СК. Получается треугольник АКМ тоже равнобедренный АК=АМ=18, т.к. <АКМ=<АМК. 5) Треугольники АМК и ДМС подобны по 1 признаку по двум равным углам (расписано выше), значит стороны пропорциональны: АМ/МД=КМ/МС или 18/12=КМ/14, значит КМ=18*14/12=21. 6) Периметр треугольника АМК Р=АК+АМ+МК=18+18+21=57.
Пусть ОА=R=х, АВ=h=х+4.
Площадь основания цилиндра S1=πR²=πх²,
Площадь боковой поверхности цилиндра равна S2=2πRh=2·π·х·(х+4).
Площадь полной поверхности цилиндра равна S=2S1+S2;
по условию S=640π.
S=2π·х²+2πх(х+4)=640π.
Сократим на на 2π;
х²+х(х+4)=320.
х²+х²+4х-320=0,
2х²+4х-320=0, сократим на 2 и получим х²+2х-160=0.
Решаем квадратное уравнение, берем положительный корень
х=-1+√161; R≈-1+12,7=11,7 см. h≈11,7+4=15,7 см.
V=πR²h≈137·15,7·π≈2150,9см³