Треугольник ABC остроугольный. Высоты, проведенные из вершин A и B, пересекаются в точке H, образуя угол AHB = 114°. Биссектрисы углов B и C пересекаются в т. K, образуя угол BKC= 130°. Найдите градусную меру всех углов треугольника АВС.
Решение.
1) В ∆ ВКС ∠КВС+ ∠КСВ=180°-130°=50° (из суммы углов треугольника)
∠КВС= 0,5 ∠АВС;
∠КСВ=0,5 угла КСВ ⇒ их сумма равна 0,5•(∠АВС+∠АСВ) ⇒
∠АВС+∠АСВ=2•50°=100°. Тогда ∠ВАС=180°-100°=80°
2) Обозначим высоты ВТ и АМ.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.
В ⊿ АВТ ∠АВТ=90°-угол А=90°-80°=10°
В ⊿ ВНМ ∠ВНМ=180°-114°=66° ( смежный угу МНТ) ⇒
∠НВМ=90°-66°=24° ⇒
∠АВС=∠АВТ+∠НВМ=10°+24°=34° ⇒
∠ВСА=180°-∠А-∠В=180°-80°-34°=66°
1. Дано: правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁ и ...
-------------
B₁ D - ?
По условию задачи ABCD_квадрат и AA₁ ⊥ плоскости ABCD.
Из прямоугольного треугольника B₁C₁D:
* * * С₁D₁ проекция наклонной С₁D на плоскости A₁B₁C₁D₁ и B₁C₁ ⊥ С₁D₁ , следовательно по теореме трех перпендикуляров B₁C₁ ⊥ С₁D * * *
B₁ D= √(B₁C₁²+C₁C²)=√(6²+8²) =10 (см) . ответ: 1) 10 см
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2. Дано: правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ ,
a=AB= AA₁=h =4 см . BN=BC/2 , B₁N₁=B₁C₁/2.
--------------------
S= S(AA₁N₁N) -?
Решение : Искомая сечения прямоугольник AA₁N₁N.
* * * т.к. BB₁C₁C_прямоугольник ⇒ BB₁N₁N тоже прямоугольник.
N₁N = BB₁ =AA₁=a , N₁N || BB₁ означает N₁N || AA₁ ) * * *
S =AN*NN₁
S = (a√3)/2* a =(a²√3)/2 = (4²√3)/2 =8√3 (см²). ответ: 8√3 см²
sin ∠ A = BH / АВ = х/2х=1/2.
⇒ ∠А=∠С=30°, тогда ∠ В = 180°-2*30°=120°.
ответ : 120°