1. Свойство касательных к окружности, проведенной из одной точки: отрезки касательных равны. х-радиус вписанной окружности (см. рисунок в приложении) Учитывая, что периметр равен 54, составляем уравнение: х+х+х+х+3+3+12+12=54 4х+30=54 4х=24 х=6
2. Из условия: ∠С=х ∠А=4х ∠В=4х-58°
Так как четырехугольник вписан в окружность, то ∠А+∠С=180° ∠В+∠Д=180°
4х+х=180° 5х=180° х=36°
Тогда ∠С=36° ∠А=4х=4·36°=144° ∠В=4х-58°=144°-58°=86°
Примем сторону куба равной а.
Проведем сечение через В1МN. Оно пересекает плоскость, содержащую грань ABCD, в точках К - на продолжении АВ, и Е - на продолжении ВС.
∆ КВЕ - проекция ∆ КВ1Е на плоскость, содержащую основание куба.
АМ=МА1; CN=NC1 ( дано)
АМ - средняя линия ∆ КВВ1. ⇒ ВК=2а
CN- средняя линия ∆ ВСВ1 ,⇒ ВЕ=2а.
∆КВЕ - равнобедренный прямоугольный. Углы при КЕ=45°
КЕ=ВЕ:sin45°=2a√2
По свойству медианы прямоугольного треугольника медиана (высота, биссектриса) ∆ КВЕ=2a√2:2=a√2
Диагональ ВD квадрата АВСD=а√2
Медиана ∆ КВЕ совпадает с ВD.
Следовательно, плоскость MB1N проходит через вершину D куба.
* * *
Формула диагонали куба а√3. Можно доказать, что медиана ∆ КВ1Е равна а√3 и поэтому совпадает с диагональю куба В1D.