Оба случая очень простые, не понятно, почему эта задача вызывает проблемы.
Есть окружность радиуса r и две касательных к ней, проведенных из точки А вне окружности. Обозначим В и С точки касания. По свойствам касательных АВ = АС, и АВ перпендикулярно ОВ, АС перпендикулярно ОС, где О - центр окружности. Проведем прямую АО. По свойству биссектрисы каждая её точка равноудалена от сторон угла, поэтому АО - биссеткриса угла САВ (точка О обязательно лежит на биссетрисе, а через А и О можно провести только одну прямую).
Итак, угол ВАО = угол САО. Прямоугольные треугольники ВАО и САО, очевидно, равны - у них общая гипотенуза и равные острые углы, катеты, и вообще все...:))
Теперь рассмотрим отдельно оба случая.
1. r = 5, угол ВАС = 60 градусам. В этом случае треугольник АОВ имеет угол в 30 градусов (угол ВОА) против стороны ВО. Поэтому АО = 2*ВО = 10.
(Кстати, если не понятно, почему, можно проделать мысленно интересную штуку - попробуйте повернуть весь треугольник ОСА вокруг точки А по часовой стрелке, пока АС не совпадет с АВ. У вас получится равносторонний треугольник, поскольку ОС попадет точно на продолжение ОВ - это легко увидеть из равенства углов. Поэтому ОВ = ОС = АВ/2 :))
2. ОА = 14, угол ВАС = 90 градусов. В этом случае фигура АВСО - квадрат, и ОА - его диагональ, а ВО = СО = (конечно же, в этом случае) = АВ = АС - это радиус окружности. По теореме Пифагора (ну, если так просили, почему бы нет:))
АВ^2 + BO^2 = AO^2; 2*r^2 = 14^2; r = 7*корень(2)/2
См. Объяснение
Объяснение:
Все решения основаны на свойствах вписанного и центрального углов:
1) вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается;
2) центральный угол равен дуге, на которую опирается.
Верхние и нижние рисунки видны не полностью, поэтому рассмотрим те, которые видно.
Рис. 4
1) Вписанный ∠В = 40°. Это значит, что дуга, на которую он опирается (ADC), равна:
40 · 2 = 80°.
2) Вся окружность = 360°. Значит, дуга АВС, на которую опирается вписанный ∠х, равна:
360 - 80 = 280°.
3) Вписанный ∠х равен половине дуги АВС, на которую опирается:
∠х = 280 : 2 = 140°.
ответ: ∠х = 140°.
Рис. 5
Центральный ∠О равен дуге АВС, на которую опирается. Следовательно, дуга АВС = 110°, а вписанный угол х опирается на дугу:
360 - 110 = 250°, поэтому:
∠х = 250 : 2 = 125°.
ответ: ∠х = 125°.
Рис. 6 - аналогичен рис. 5.
∠х = 360 - 100·2 = 160°
ответ: ∠х = 160°.
Рис. 9
АОС - диаметр, делит окружность пополам, т.е. дуга ADBC = 180°.
1) ∠В = 35° - следовательно, дуга AD = 35 · 2 = 70°, а дуга DBC = 180 - 70 =110°.
2) ∠х = 1/2 дуги DBC = 110 : 2 = 55°.
ответ: ∠х = 55°.
