Построим сечение куба плоскостью проходящей через точки H (середина стороны DC), H1 (середина стороны D1C1) и M (середина отрезка CQ)
Соединим H с H1, продолжим отрезок HM до пересечения со стороной BC в точке K. Рассмотрев ΔBCD, видим, что отрезок HM проходит через середины стороны CD и высоты CQ, а следовательно KM является средней линией ΔBCD. Тогда K - середина стороны BC. Т.к. A1B1C1D1 || ABCD, то плоскость KHH1 пересекает их по параллельным прямым. Прямая параллельная KH и принадлежащая плоскости A1B1C1D1 и проходящая через точку H1 также будет средней линией K1H1, но в ΔC1B1D1.
Окончательно получаем в сечении прямоугольник KHH1K1.
Теперь построим сечение проходящее через точки Q, Q1 и D1
Проводим прямую через точки Q1 и D1 в плоскости A1B1C1D1 - это будет диагональ B1D1. Проводим прямую параллельную ей и принадлежащую плоскости ABCD и проходящую через точку Q - это будет диагональ BD. Окончательно получаем в сечении прямоугольник BDD1B1
BD || KH (KH - средняя линия ΔBCD)
BB1 || KK1 (KK1 - средняя линия квадрата BB1C1C)
BD пересекается с BB1 в точке B
KH пересекается с KK1 в точке K
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны ⇒ BDD1B1 || KHH1K1.
Найдем ∠А из Δ АВС. ∠А= 180°-∠С - ∠В = 180°- 90°-∠В
Найдем ∠А из Δ АВВ1 ∠А = 180°-∠В1-1/2∠В
Приравняем оба выражения
180°- 90°-∠В = 180°-∠В1-1/2∠В
Найдем из уравнения ∠ В1
∠В1=1/2∠В+90°
Рассмотрим Δ АІВ1 . ∠ АІВ является внешним. Он равен сумме внутренних не смежных с ним углов Δ АІВ1
∠АІВ = 1/2∠А+1/2∠В+90°
∠АІВ =∠ А1ІВ1 так как они вертикальные.
∠ А1ІВ1 = 1/2∠А+1/2∠В+90°