Перпендикуляр от точки к прямой
Отрезок AC называется перпендикуляром, проведённым из точки A прямой a , если прямые AC и a перпендикулярны.
пер3.jpg
Точка C называется основанием перпендикуляра.
От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Perpendikuls.png Perpendikuls1.png
Докажем, что от точки A , не лежащей на прямой BC , можно провести перпендикуляр к этой прямой.
Допустим, что дан угол ∡ABC .
Отложим от луча BC угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне BC ).
Сторона BA совместится со стороной BA1 .
При этом точка A наложится на некоторую точку A1 .
Следовательно, совмещается угол ∡ACB с ∡A1CB .
Но углы ∡ACB и ∡A1CB — смежные, значит, каждый из них прямой.
Прямая AA1 перпендикулярна прямой BC , а отрезок AC является перпендикуляром от точки A к прямой BC .
Если допустить, что через точку A можно провести ещё один перпендикуляр к прямой BC , то он бы находился на прямой, пересекающейся с AA1 . Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.
Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:
1. найти середину стороны;
2. соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.
Mediana.png
У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.
Все медианы пересекаются в одной точке.
Mediana1.png
Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.
Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:
1. построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);
2. найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;
3. соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.
Bisektrise.png
У треугольника три угла и три биссектрисы.
Все биссектрисы пересекаются в одной точке.
Bisektrise1.png
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:
1. провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);
2. из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90° ) — это и будет высота.
Augstums.png
Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Augstums1.png
Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются.
Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.
Augstums2.png
Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.
Augstums3.png
Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самым коротким отрезком.
Условие задачи некорректно составлено.
Объяснение:
Пусть одна сторона треугольника равна х см; вторая сторона- 4х см; третья сторона- 5х см.
Периметр треугольника - сумма всех сторон.
Составляем уравнение:
х+4х+5х=50
10х=50
х=50/10
х=5 см первая сторона треугольника
4*5=20 см вторая сторона треугольника.
5*5=25 см третья сторона треугольника.
Для того, чтобы треугольник существовал необходимо чтобы сохранялось неравенство: сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.
5+20=25 (неравенство не сохраняется, такого треугольника нет). Дальнейшее решение не возможно.
Так как стороны треугольника отрезки, а не лучи, то "При таких значениях треугольник является вырожденным, т.е. представляет собой ОТРЕЗОК, на котором расположены все три вершины
При таких значениях треугольник является вырожденным, т.е. представляет собой развернутый угол.
Вписать окружность не возможно, описать можно, тогда радиус описанной окружности будет равен 25:2=12,5см. Чертеж прилагаю. АВС- вырожденный треугольник. АВ=25см; АС=5см; СВ=20см
Площадь по Герону
S=√(р(р-а)(р-b)(p-c))
p=P/2=50/2=25см.
S=√(25(25-5)(25-20)(25-25))=√(25*20*5*0)=
=√0
R=(a*b*c)/4S формула нахождения радиуса описанной окружности. (Решения нет, т.к. площади треугольника нет)
r=S/p формула нахождения радиуса вписанной окружности, где р- полупериметр треугольника; (Решения нет, т.к. площади треугольника нет).
Из тех вариантов, которые даны, не может существовать только один треугольник со сторонами 6 см, 13 см, 5 см, потому что:
6+5=11
11<13