Восновании прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 лежит квадрат abcd со стороной а. боковое ребро параллелепипеда равно b. точка k принадлежит a1b1 и a1k: kb1=2: 1. через середины ребер ad и cd и точку к проведено сечение. найти s сечения
Для удобства расчёта примем сторону квадрата, равной 4, а высоту - 6. Задачу можно решить или геометрическим или координатным. Для этого определяем координаты точек пересечения заданной секущей плоскости с рёбрами параллелепипеда. Точка К делит ребро А1В1 так: А1К = (2/3)*4 = 8/3, КВ1 = 4/3. Тогда длина отрезка КМ = (4/3)*√2 = 4√2/3 (это след пересечения верхней грани секущей плоскостью). В нижней грани отрезок ТР делит рёбра пополам и равен 2√2. Точки О и Е на боковых рёбрах находим из вс построения. Отрезок ТР продлеваем до пересечения с рёбрами АВ и ВС. Из точек К и М проводим прямые в эти точки, которые пересекают рёбра АА1 и СС1 в точках О и Е. Детали приведены в приложениях.
Две точки А и А' плоскости называются симметричными относительно прямой с, если эта прямая проходит через середину отрезка АА' и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой c считается симметричной самой себе.
Соответствие, при котором каждой точке А сопоставляется симметричная ей относительно прямой с точка А', называется осевой симметрией. Прямая с называется осью симметрии.
Две фигуры F и F' называются симметричными относительно оси с, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры.
Фигура F называется симметричной относительно оси с, если она симметрична сама себе.
Примем без доказательства, что при симметрии прямые переходят в прямые, причем сохраняются расстояния и углы.
Представление об осевой симметрии дает перегибание листа бумаги. При этом линия сгиба будет осью симметрии, а каждая точка листа совместится с симметричной точкой.
В природе оси симметрии имеют листья деревьев, лепестки цветов, бабочки, стрекозы и мн. др
Построение сечения. 1. Проводим пряную ЕF до пересечения с продолжениями отрезков СВ (F1) и СD (Е1). ЕF -линия пересечения секущей плоскости и плоскости основания. 2. Проводим прямую НF1, пересечение этой прямой с ребром ВВ1 - точка G. GH - линия пересечения секущей плоскости и грани ВВ1С1С. 3. Соединим точки F и G. FG - линия пересечения секущей плоскости и грани АА1В1В. 4. Плоскости АВСD и А1В1С1D1 параллельны, значат линия НК пересечения секущей плоскости и грани А1В1С1D1 будет проходить через точку Н параллельно прямой ЕF. 5. Проводим прямую КЕ1, пересечение этой прямой с ребром DD1 -точка Р. КР -линия пересечения секущей плоскости и грани DD1C1C. 6. Соединим точки Р и Е. РЕ -линия пересечения секущей плоскости и грани АА1D1D. Нахождение угла. Угол между плоскостью сечения EFGHKP и плоскостью А1ВD -угол A1RQ = α, образованный пересечением указанных плоскостей плоскостью, перпендикулярной к обеим плоскостям, то есть перпендикулярной к линии пересечения МN данных двух плоскостей. Заметим, что этот угол равен углу А1ОС1, так как QL параллельна С10 (так как LО=С1Q, потому что EF - средняя линия прямоугольного треугольника АЕF и АL=LO=C1Q). Половина диагонали основания (квадрата со стороной а) СО равна а*√2/2. А тангенс угла С10С равен СС1/СО = а*2/а*√2 = √2. По таблице тангенсов угол С10С ≈ 55°. Значит и симметричный с ним угол А1ОА =55°, их сумма равна 110°, а дополняющий эти два угла до развернутого искомый угол равен 180°-110°=70°. ответ: угол между плоскостями FGНКРЕ и A1BD ≈ 70°. ответ в приложенном рисунке.
Задачу можно решить или геометрическим или координатным.
Для этого определяем координаты точек пересечения заданной секущей плоскости с рёбрами параллелепипеда.
Точка К делит ребро А1В1 так: А1К = (2/3)*4 = 8/3, КВ1 = 4/3.
Тогда длина отрезка КМ = (4/3)*√2 = 4√2/3 (это след пересечения верхней грани секущей плоскостью).
В нижней грани отрезок ТР делит рёбра пополам и равен 2√2.
Точки О и Е на боковых рёбрах находим из вс построения.
Отрезок ТР продлеваем до пересечения с рёбрами АВ и ВС. Из точек К и М проводим прямые в эти точки, которые пересекают рёбра АА1 и СС1 в точках О и Е.
Детали приведены в приложениях.