КМ соединяет середины сторон ∆ АВС ⇒ КМ его средняя линия и параллельна АС .
КТ соединяет середины сторон ∆ АВD, ⇒ КТ его средняя линия и параллельна ВD (свойство) .
Аналогично ТН║АС и МН║ВD
Лемма:
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой третьей прямой.
КТ║ВД
КТ⊥ТН,⇒ ВД⊥ТН; (1)
ТН║АС
ТН⊥ВД⇒ АС⊥ВД (2)
Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом (2) , этот параллелограмм - ромб.
--------
Вариант решения.
Обозначим точки пересечения диагонали АС параллелограмма АВСД со сторонам КТ и МН буквами Р и Е, а точки пересечения диагонали ВД со сторонами КМ и ТН буквами Х и У соответственно.
Диагонали АВСД делят стороны ТКМН пополам. ⇒
РКХО=ХМЕО=ЕНУО=УТРО и являются параллелограммами ⇒
их углы при О, противолежащие прямым углам при вершинах прямоугольника КМНТ, тоже прямые. ⇒
АС и ВД пересекаются в точке О про углом 90º.
Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, этот параллелограмм - ромб, что и требовалось доказать.
Все ребра треугольной призмы равны. Найдите площадь основания призмы, если площадь ее полной поверхности равна 8+16√ 3
Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Пусть ребро призмы равно а. Грани - квадраты, их 3. S бок=3а² S двух осн.=( 2 а²√3):4=( а²√3):2 По условию 3а²+(а²√3):2=8+16√3 Умножим обе стороны уравнения на 2 и вынесем а² за скобки: а²(6+√3)=16+32√3)=16(1+2√3) а²=16(1+2√3):(6+√3) Подставим значение а² в формулу площади правильного треугольника: S=[16*(1+2√3):(6+√3)]*√3:4 S=4(√3+6):(6+√3)=4 (ед. площади)
Думаю, решение понятно. Перенести решение на листок для Вас не составит труда.
Докажите, что если вершины прямоугольника являются серединами сторон некоторого параллелограмма, то этот параллелограм - ромб
----------
Дано: АВСD - параллелограмм, АК=КВ, ВМ=МС, СН=НD, DТ=ТА
КМНТ - прямоугольник.
КМ соединяет середины сторон ∆ АВС ⇒ КМ его средняя линия и параллельна АС .
КТ соединяет середины сторон ∆ АВD, ⇒ КТ его средняя линия и параллельна ВD (свойство) .
Аналогично ТН║АС и МН║ВD
Лемма:
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к этой третьей прямой.
КТ║ВД
КТ⊥ТН,⇒ ВД⊥ТН; (1)
ТН║АС
ТН⊥ВД⇒ АС⊥ВД (2)
Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом (2) , этот параллелограмм - ромб.
--------
Вариант решения.
Обозначим точки пересечения диагонали АС параллелограмма АВСД со сторонам КТ и МН буквами Р и Е, а точки пересечения диагонали ВД со сторонами КМ и ТН буквами Х и У соответственно.
Диагонали АВСД делят стороны ТКМН пополам. ⇒
РКХО=ХМЕО=ЕНУО=УТРО и являются параллелограммами ⇒
их углы при О, противолежащие прямым углам при вершинах прямоугольника КМНТ, тоже прямые. ⇒
АС и ВД пересекаются в точке О про углом 90º.
Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, этот параллелограмм - ромб, что и требовалось доказать.