Question

1) высота прямоугольного треугольника опущена на гипотенузу равна 12 см и делит ее на отрезки разница между которыми составляет 7 см найдите периметр треугольника 2) гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а высота проведена к ней 12 см. найдите катеты треугольника

Answer 1

2)X - один отрезок разделенной гипотенузы
25 - x - второй отрезок
x² + 12² - квадрат одного катета
(25 - x)² + 12² - квадрат другого катета
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
25² = x² +12² + (25 - x)² + 12²
625 = x² +144 + 625 - 50x + x² + 144
2x² - 50x + 288 = 0 ⇒x² - 25x + 144 = 0, x = 16, x = 9
Если  x = 16 см, то второй отрезок равен - 9см
√16² + 12² = √400 = 20 см - один катет
√9² + 12² = √225 = 15 см - второй катет

Answer 2

1.
Пусть дан треугольник ABC. ∠С - прямой. CH - высота = 12 см

Пусть AH = x, тогда HB = x + 7
$CH = \sqrt{AH*HB} = \sqrt{x(x+7)} =12$
√(x(x+7)) = 12
x(x + 7) = 144
x² + 7x - 144 = 0
D = 49 + 4*144 = 625
√D = 25
$x_1= \frac{-7+25}{2} = 9 \\ x_2= \frac{-7-25}{2} = -16$
x₂ не подходит так как длина отрезка не может равняться отрицательному числу.

Рассмотрим ΔAHC
По теореме Пифагора AC = √(AH² + CH²) = √(81 + 144) = 15 см

Рассмотрим ΔCHB
BH = x + 7 = 9 + 7 = 16 см
По теореме Пифагора CB = √(BH² + CH²) = √(256 + 144) = 20 см

AB = AH + HB = 9 + 16 = 25 см

PΔABC = 25 + 20 + 15 = 60 см

ответ: 60 см

2.
Буквы оставим аналогичные, как в задаче 1. AB = 25 см. CH = 12 см.

Пусть AH = x, тогда BH = 25 - x

В ΔACH по теореме Пифагора  AC² = 144 + x²
В ΔABH по теореме Пифагора CB² = 144 + (25 - x)² = 144 + 625 - 50x + x² = x² - 50x + 769

В ΔABC по теореме Пифагора выполняется равенство:
AB² = AC² + CB²
25² = 144 + x² + x² - 50x + 769
625 = 2x² - 50x + 913
2x² - 50x + 288 = 0
x² - 25x + 144 = 0
D = 625 - 4*144 = 49
√D = 7
$x_1= \frac{25+7}{2} = 16 \\ x_2= \frac{25-7}{2} = 9$

Рассмотрим x₁:
AC² = 144 + x²
AC² = 400
AC = 20 см

CB² = x² - 50x + 769
CB₂ = 225
CB = 15 см

Рассматривая x₂ получится, что AC = 15 см, а CB = 20 см

ответ: 15 см и 20 см