Question

Дана прямая треугольная призма abcc1b1a1. в основании треугольник abc, угол c = 90°. ba1 = 15, bc1 = 9, ab = 13. a) докажите, что треугольник a1c1b прямоугольный. б) найдите объем пирамиды с1а1ав.

Answer 1

а) Для доказательства нужно найти сторону А1С1 и проверить треугольник на соответствие т.Пифагора. 

Призма прямая, ⇒все её ребра перпендикулярны основаниям. 

• Из ∆ АА1В по т.Пифагора 

АА1=√(A1B²-AB²)=√56

BB1=CC1=√56

 • Из ∆ С1СВ  по т.Пифагора 

ВС=√(BC1²-CC1*)=√(81-56)=√25=²

• Стороны ∆ АВС из троек .Пифагора с отношением 5:12:13 ⇒ можно обойтись без вычислений. АС=12 ( проверьте по т.Пифагора)

А1С1=АС=12

А1В²-С1В²=225-81=144 Получаем А1С1=12,  к тому же отношение сторон ВС1:А1С1:А1В=3:4:5 - отношение сторон прямоугольного (египетского) треугольника.  Доказано.

–––––––––––––––––––––––––––––

б)Формула объёма пирамиды 

V=S•h:3

Площадь основания АВА1  равна половине площади большей боковой грани призмы АВВ1А1 (диагональ грани делит её пополам). 

S=AA1•AB:2=√56•13=2√14•13:2=√14•13

Высотой пирамиды является перпендикуляр из вершины С1  опущенный на плоскость основания. 

Перпендикуляр  из вершины С1 на плоскость АВВ1А1, содержащую плоскость основания пирамиды,  лежит в плоскости верхнего основания призмы А1С1В1.

С1Н=А1С1•sin∠A1. 

sin∠A1=C1B1:A1B1=5/13

C1H=12•5/13=60/13

$V= \frac{ \sqrt{14}*13*60}{13*3} =20 \sqrt{14}$

------

На втором рисунке приложения призма для большей наглядности "уложена" на большую грань, содержащую основание пирамиды.