1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
ответ: искомый угол равен 45°.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник со сторонами - высотой цилиндра и диаметром.
Т.к. R = 6 см, то диаметр D = 2R = 12 (см).
Диагональ осевого сечения, диаметр основания и высота образуют прямоугольный треугольник, у которого острый угол равен 30° по условию, а катет - диаметр основания (рисунок легко сделать). Из прямоугольного треугольника найдем высоту (второй катет): Н = D · tg30° = 12/√3 = 4√3 (см).
Sполн = 2Sосн + Sбок = 2πR² + 2πRH = 2πR(R + H) = 2π · 6 · (6 + 4√3) = 12π(6 + 4√3) (см²) = 72π +48π√3 (см²)