1) Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
2) Все 3 признака равенства треугольников:
а) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
б) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
в) Если 3 стороны одного треугольника соответственно равны 3-ем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3) Треугольника называется равнобедренным, если 2 его стороны равны.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
4) Отрезок угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны называется биссектрисой треугольника. Биссектриса делит угол на 2 равные части.
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны называется медианой треугольника.
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, соединяющей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
--------
Чертежи во вложениях
В треугольнике АВС угол В равен 120°, а длина стороны АВ на 3√3 меньше
полупериметра треугольника.
Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.
Сделаем рисунок.
Окружность, радиус которой нужно найти - вневписанная.
Если вневписанная окружность касается стороны ВC треугольника ABC, отрезки касательных от вершины А до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Это утверждение вытекает из того, что
по свойству отрезков касательных из точки вне окружности отрезки от В до точек касания равны, равны и отрезки от С до точек касания. Сумма их с соответствующими сторонами треугольника является его полупериметром.
Центр данной окружности лежит на биссектрисе угла СВЕ.
Так как этот угол смежный с углом АВС,
он равен 60°, а угол ОВЕ=30°.
Так как длина стороны АВ на 3√3 меньше полупериметра треугольника, а АЕ - равна полупериметру, то
ВЕ=3√3
Радиус ОЕ:ВЕ= tg (30°) = 1/√3
Радиус ОЕ:ВЕ=R:3√3
R:3√3 = 1/√3
R=3√3 ·1/√3=3
По заданию высота ВН является медианой, поэтому сторона ромба АВ равна меньшей диагонали ВД.
Отсюда следует, что треугольник АВД равносторонний, угол А равен 60°.
Половина большей диагонали является высотой этого треугольника (а также и медианой и биссектрисой): АО = 4√3/2 = 2√3 см.
Сторона a ромба равна: а = АО/cos 30° = 2√3/(√3/2) = 4 см.
Так как треугольник АВД равносторонний, то высота ВН равна высоте АО = h = 2√3 см.
Тогда площадь ромба S = ah = 4*2√3 = 8√3 см².