Question

Конус образован вращением равностороннего треугольника со стороной 43 см вокруг его высоты. найти: а) объём конуса, б) радиус шара, равновеликого конусу.

Answer 1

А) V = (1/3)*п*(R^2)*H.
R - это радиус основания конуса,
H - это высота конуса (которая также является и высотой данного равностороннего треугольника).
Найдем R и H.
Сторона треугольника а = 43 см.
В равностороннем треугольнике высота является биссектрисой и медианой, поэтому
R = a/2 = (43 см)/2 = 21,5 см.
По т. Пифагора
R^2 + H^2 = a^2.
(a/2)^2 + H^2 = a^2;
H^2 = (a^2) - (a/2)^2 = (a^2) - (a^2/4) = (3/4)*(a^2),
H = (a/2)*√3.
V = (1/3)*п*((a/2)^2)*(a/2)*√3 = (п/3)*(a^3)*(1/8)*√3 = 
= (п/24)*(43^3)*√3 = (79507/24)*п*√3.
б) Шар, равновеликий данному конусу, это шар, который имеет тот же объем, что и данный конус.
V = (4/3)*п*r^3,
где r - это радиус шара.
(4/3)*п*(r^3) = (п/24)*(43^3)*√3,
r^3 = (3/4)*(1/24)*(43^3)*√3,
r^3 = (43^3)*(√3)/(8*4)
$r = \sqrt[3]{\frac{43^3 \cdot \sqrt{3}}{8 \cdot 4}} =$
$= \frac{43}{2} \cdot \frac{\sqrt[6]{3}}{\sqrt[3]{4}}$.