Дана четырёхугольная пирамида SABCD, основание высоты которой совпадает с центром прямоугольника основания. Стороны основания 2√3 и 2√6, боковые рёбра по 6. Найти угол между гранями SBA и SBC.
Находим высоту Н = SO пирамиды. Определяем половину АО диагонали основания: АО = √(3 + 6) = √9 = 3. Н = √(6² - 3²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3. Ещё можно сделать вывод, что боковые рёбра наклонены к основанию под углом 60 градусов (cosSAO = 3/6 = 1/2, <SAO = 60°). Найти угол между боковыми гранями можно двумя - векторным, - геометрическим.
Используем геометрический Для этого надо провести секущую плоскость, перпендикулярную боковому ребру. Проведём её из точки А. Рассмотрим треугольник ASB. Высота его SP = √(36-3) = √33. Площадь его равна (1/2)√33*2√3 = 3√11. Высота АМ равна 2S/6 = 6√11/6 = √11. Отрезок МВ = √(АВ² - АМ²) = √(12 - 11) = 1. Теперь определим второй перпендикуляр к точке М в грани SBC. В этой грани тангенс угла В равен: tg B = SK/KB = √(36-6)/√6 = √30/√6 = √5. Тогда перпендикуляр пересекает ВС на расстоянии L: L = 1/cos B = 1/(1/√(1+5)) = √6. То есть это середина ВС - точка К. Длина АК = √(АВ² + ВК²) = √(12+6) = √18 = 3√2. В треугольнике АМК этот же угол ищем по теореме косинусов. cos∡АМК = (11+5-18)/(2*√11*√5) = -1/√55 ≈ -0,13484 . Угол АМК = 1,706048 радиан = 97,74937°.
Интересно, где Вы учитесь, если такие задачи задают. Вот решение этой задачи без теории (вывод формул ищите в учебнике или в записях занятий) Мне не нравится обозначение радиусов, я их буду обозначать r1, r2, r3; Окружность, вписанная в исходный треугольник (её радиус я обозначу просто r), является вневписанной для каждого из трех отсеченных. Если построить вневписанные окружности к исходному треугольнику, с радиусами ρ1, ρ2, ρ3; то очевидно (в силу подобия отсеченных треугольников исходному) будут выполнены пропорции ρ1/r = r/r1; и то же самое для двух других. то есть ρ1 = r^2/r1; ρ2 = r^2/r2; ρ3 = r^2/r3; Остается подставить это в известные соотношения 1/r = 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3; то есть r = r1 + r2 + r3; и 4R = ρ1 + ρ2 + ρ3 - r; где R - радиус описанной окружности. то есть 4R = r^2*(1/r1 + 1/r2 + 1/r3 - 1/r); r = r1 + r2 + r3; это все. Я бы конечно мог привести вывод этих формул, но Вам бы никогда не задали эту задачу, если бы не выводили их на занятиях. К примеру, площадь S исходного треугольника равна S = (p - a)*ρ1 = (p - b)*ρ2 = (p - c)*ρ3 = p*r; откуда 1/ρ1 + 1/ρ2 + 1/ρ3 = (p - a)/S + (p - b)/S + ( p - c)/2 = (3p - a - b - c)/S = p/S = 1/r; Вывод формулы для R намного сложнее технически, но по сути - то же самое.
Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :) Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) ) Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC; то есть ∠BAC = ∠BA1C; Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому ∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK; следовательно ∠BAC = ∠BMK; и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.
Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.
Дополнение. Тривиальный решения тут такой. ∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C; BK = BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A); BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C); То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны. коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.
Стороны основания 2√3 и 2√6, боковые рёбра по 6.
Найти угол между гранями SBA и SBC.
Находим высоту Н = SO пирамиды.
Определяем половину АО диагонали основания:
АО = √(3 + 6) = √9 = 3.
Н = √(6² - 3²) = √(36 - 9) = √27 = 3√3.
Ещё можно сделать вывод, что боковые рёбра наклонены к основанию под углом 60 градусов (cosSAO = 3/6 = 1/2, <SAO = 60°).
Найти угол между боковыми гранями можно двумя
- векторным,
- геометрическим.
Используем геометрический
Для этого надо провести секущую плоскость, перпендикулярную боковому ребру. Проведём её из точки А.
Рассмотрим треугольник ASB. Высота его SP = √(36-3) = √33.
Площадь его равна (1/2)√33*2√3 = 3√11.
Высота АМ равна 2S/6 = 6√11/6 = √11.
Отрезок МВ = √(АВ² - АМ²) = √(12 - 11) = 1.
Теперь определим второй перпендикуляр к точке М в грани SBC.
В этой грани тангенс угла В равен:
tg B = SK/KB = √(36-6)/√6 = √30/√6 = √5.
Тогда перпендикуляр пересекает ВС на расстоянии L:
L = 1/cos B = 1/(1/√(1+5)) = √6.
То есть это середина ВС - точка К.
Длина АК = √(АВ² + ВК²) = √(12+6) = √18 = 3√2.
В треугольнике АМК этот же угол ищем по теореме косинусов.
cos∡АМК = (11+5-18)/(2*√11*√5) = -1/√55 ≈ -0,13484 .
Угол АМК = 1,706048 радиан = 97,74937°.