Втреугольнике abc угол b равен 80 градусов угол c равен 70 градусов внутри треугольника выбрана точка m так что треугольник cmb равносторонний найдите угол mab
Рисунок: (Треугольник АВС вписываем в окружность, где М центр окружности, проводим радиусы МС, МА, МВ.проводим серединный перпендикуляр КР к стороне СВ, где Р лежит на стороне СВ, а К на СА). Решение:∠САВ=180°-70°-80°=30°. ∠СМВ=60° тк ΔСМВ равносторонний. центр описанной окружности лежит на прямой КР, по свойствам углов окружности вписанный угол равен половине центрального угла опирающихся на одну дугу, следовательно М центр окружности. ∠АВМ=80°-60°=20°, а тк ΔАМВ равнобедренный (АМ=МВ радиусы окружности) следовательно ∠МАВ=20°
Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам. Пусть длины двух отрезков противоположной стороны - 5x и 4x Угол, который делит биссектриса - β. Тогда по теореме косинусов для двух дочерних треугольников (5x)² = 5² + (20/9)² - 2*5*20/9*cos(β/2) (4x)² = 4² + (20/9)² - 2*4*20/9*cos(β/2)
Угол АОС =150°. Смежные с ним углы АОД и СОЕ равны 180° - 150° = 30°. Медианы треугольника точкой пересечения О делятся в отношении 2:1, начиная от вершины, поэтому АО = 2см, а ОЕ = 1см. Поэтому же ОД = х , а СО = 2х Медианы делят треугольник на 6 равновеликих (равных по площади) треугольников, поэтому площадь треугольника АОD S(AOD) = 1/6 S(ABC) = 12 : 6 = 2(см²) Площадь треугольника AOD можно вычислить и иначе: S(AOD) = 0.5 · AO · OD · sin 30° = 0.5 · 2 · x · 0.5 = 0.5x 0.5x = 2 → x = 4(см) - это OD, а ОС = 2х = 8(см) СD = OD + OC = 4 + 8 = 12(cм) ответ: 12см
и некоторые тригонометрические формулы (синус суммы углов)...
(для 9 класса еще не известные)