Катет, лежащий против угла в 30градусов равен половине длины гипотенузы, т.е 20см.
по теореме Пифагора
40^2-20^2=1600-400=1200
второй катет равен корню квадратному из 1200
1200=3*400=20корень из 3
площадь треугольника равна 1/2 произведения катетов (первый катет 20см, а второй катет - 20 корень из 3)
S=1/2*20*20 корень из 3
S=200 корень из 3(см2)
Вершины вписанного квадрата лежат на описанной около него окружности. Диагональ квадрата - диаметр этой окружности.
Диагональ вписанного квадрата со стороной 8 см по теореме Пифагора DC=√(DH²+CH²) или DC=СН:sin45°=8√2, ⇒ радиус ОН =D:2=4√2 см. (См. рисунок). Соединим вершины А и В шестиугольника с центром О вписанной в него окружности.
Центральный угол АОВ=360°:6=60°, треугольник АОВ - равносторонний. Радиус вписанной окружности является его высотой. сторона АВ=АО=ОН:sin60°=(4√2):√3/2=(8√2):√3 или 
см
