Question

Напишите не сложное, но хорошее и краткое решение, ! точка а ₁ лежит на стороне вс треугольника авс, точка с ₁ - на стороне ав известно что ас₁ : с₁в = 5 : 2 и ва₁ : а₁с = 2 : 1 а) прямая а₁с₁ пересекает прямую ас в точке к. чему равно отношение ск : ас ? б) прямые аа₁ и сс₁ пересекаются в точке о. чему равно отношение ао : оа₁ и со : ос₁ ?

Answer 1

А) По теореме Менелая для треугольника АВС и секущей С1К:
(АС1/С1В)*(ВА1/А1С)*(СК/КА)=1.
Подставим известные значения:    (5/2)*(2/1)*(СК/КА)=1.
Отсюда  СК/КА=1/5. Тогда АК=5СК.АС=АК-СК=4СК.
СК/АС=1/4.  Это ответ.
б) По Менелаю в треугольнике АКС1 и секущей СВ:
(АС/СК)*(КА1/А1С1)*(С1В/ВА)=1, подставив известные значения:
(4/1)*(КА1/А1С1)*(2/7)=1.
(КА1/А1С1)=7/8.
По Менелаю в треугольнике СС1К и секущей АА1:
(КА1/А1С1)*(С1О/ОС)*(СА/АК)=1, подставив известные значения:
(7/8)*(С1О/ОС)*(4/5)=1.
С1О/ОС=40/28=10/7.
Или   СО/ОС1=7/10. Это ответ.
По Менелаю в треугольнике АА1К и секущей СС1:
(КС/СА)*(АО/ОА1)*(А1С1/С1К)=1, подставив известные значения:
(1/4)*(АО/ОА1)*(8/15)=1.
Отсюда  АО/ОА1=15/2. Это ответ.