Для решения этой задачи нам понадобятся две основные формулы тригонометрии:
1. Теорема Пифагора: согласно которой для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c справедливо уравнение: a^2 + b^2 = c^2.
2. Теорема о соотношении между тригонометрическими функциями: синус острого угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, т.е. sin α = a / c, а косинус острого угла α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, т.е. cos α = b / c.
Итак, нам дано, что cos α = 9/41. По второй формуле тригонометрии мы знаем, что cos α = b / c. Поэтому мы можем заменить b на 9 и c на 41 и получить уравнение:
9/41 = b / 41.
Чтобы найти b (прилежащий катет), мы можем умножить обе части уравнения на 41:
9 = b.
Таким образом, мы нашли значение прилежащего катета.
Теперь, чтобы найти синус острого угла α (sin α), мы можем использовать первую формулу тригонометрии - теорему Пифагора. В данном случае, противолежащий катет неизвестен, поэтому мы обозначим его как а.
Используя теорему Пифагора, у нас есть уравнение:
9^2 + a^2 = 41^2.
Это уравнение можно упростить и решить:
81 + a^2 = 1681,
a^2 = 1681 - 81,
a^2 = 1600.
Чтобы найти а, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:
1. Теорема Пифагора: согласно которой для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c справедливо уравнение: a^2 + b^2 = c^2.
2. Теорема о соотношении между тригонометрическими функциями: синус острого угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, т.е. sin α = a / c, а косинус острого угла α равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, т.е. cos α = b / c.
Итак, нам дано, что cos α = 9/41. По второй формуле тригонометрии мы знаем, что cos α = b / c. Поэтому мы можем заменить b на 9 и c на 41 и получить уравнение:
9/41 = b / 41.
Чтобы найти b (прилежащий катет), мы можем умножить обе части уравнения на 41:
9 = b.
Таким образом, мы нашли значение прилежащего катета.
Теперь, чтобы найти синус острого угла α (sin α), мы можем использовать первую формулу тригонометрии - теорему Пифагора. В данном случае, противолежащий катет неизвестен, поэтому мы обозначим его как а.
Используя теорему Пифагора, у нас есть уравнение:
9^2 + a^2 = 41^2.
Это уравнение можно упростить и решить:
81 + a^2 = 1681,
a^2 = 1681 - 81,
a^2 = 1600.
Чтобы найти а, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:
√(a^2) = √1600,
a = 40.
Теперь мы нашли значение противолежащего катета.
Таким образом, мы имеем sin α = a / c = 40 / 41.
Ответ: sin α = 40 / 41.