У квадрата все углы прямые. Прямоугольные треугольники А₁ВВ₁ и С₁DD₁ равны по двум катетам ⇒ А₁В₁=С₁D₁;
У квадрата все стороны равны. Если ВВ₁=ВА₁, то В₁С=А₁А; аналогично, если DC₁=DD₁, то С₁С=D₁А; тогда В₁С=А₁А=С₁С=D₁А и ΔА₁АD₁ с ΔВ₁СС₁ - равные равнобедренные прямоугольные треугольники;
В р/б прямоугольном треугольнике каждый из острых углов = 45°; такими являются все 4 треугольника ΔА₁АD₁, ΔС₁DD₁, ΔΔВ₁СС₁ и ΔА₁ВВ₁;
Угол АD₁D - развёрнутый, равен 180°, ⇒ сумма ∠АD₁A₁, ∠А₁D₁С₁ и ∠C₁D₁D = 180°; если ∠АD₁A₁ и ∠C₁D₁D по 45°, то их сумма = 90°; ⇒ ∠А₁D₁С₁ = 90°; таким образом (из попарного равенства треугольников), все углы четырёхугольника А₁В₁С₁D₁ прямые и стороны попарно равны. Значит, четырёхугольник А₁В₁С₁D - прямоугольник, ч.и.т.д.
Объяснение:
Дано: ABCD - трапеция.
АС∩BD=M
AD=DM
∠ABD=∠CBD
Доказать: ∠BAD>60°; AB>BC.
Доказательство:
1. ∠1=∠2 (условие)
∠1=∠3 (накрест лежащие при AD║BC и секущей BD)
⇒∠2=∠3.
2. Рассмотрим ΔABD.
∠2=∠3 (п.1) ⇒ ΔABD - равнобедренный ⇒AB=AD
3. Рассмотрим ΔAМD
AВ=МD (условие)
AB=AD (п.2) ⇒ ΔAМD - равнобедренный
⇒∠4=∠5 (при основании р/б Δ)
4.Рассмотрим ΔAВD - равнобедренный.
Предположим, что ∠ВAD=∠2=∠3=60°, то ΔAВD был бы равносторонним.
Это неверно, так как BD>AB=AD (AB=AD=MD; BD=MD+MB)
⇒BD - большая сторона ΔAВD⇒ ∠ВAD > 60°.
Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол.
5. ∠4=∠5 (п.3)
∠4=∠6 (накрест лежащие при ВС║AD и секущей АС)
⇒∠5=∠6.
6. ∠5=∠2+∠7 (внешний, ΔАВМ)
⇒∠5>∠7 или ∠6>∠7.
7. Рассмотрим ΔАВС.
∠6 >∠7 ⇒ АВ > BC.
Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.