В тетраэдре ABCD, где A(1; 0;-1), B(1; 2; 0),C(0; 1;-2), D(-1;-4; 1), найти на плоскости грани ABC точку, ближайшую к вершине D.
Точка на плоскости грани ABC, ближайшая к вершине D, - это основание перпендикуляра из точки D к плоскости АВС, или по-другому – точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью.
Находим уравнение плоскости и её нормальный вектор.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 1 y z - (-1)
1 - 1 2 – 0 0 - (-1)
0 - 1 0 – 1 -2 - (-1) = 0
x - 1 y z + 1 | x - 1 y
0 2 1 | 0 2
-1 -1 -1 | -1 -1 =
= (x – 1)*(-2) + y*(-1) + (z + 1)*0 – y*0 – (x – 1)*(-1) – (z + 1)*(-2) =
= -2x + 2 – y – x + 1 + 2z+ 2 = -3x – y + 2z + 5 = 0 или с положительным коэффициентом при х: 3x + y – 2z – 5 = 0.
Нормальный вектор этой плоскости равен (3; 1; -2) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.
Получаем уравнение перпендикуляра из точки D(-1;-4; 1).
((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).
Координаты, которые имеет точка М пересечения x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:
{((x + 1)/3) = (y + 4)/1 = ((z – 1)/(-2).
{3x + y – 2z – 5 = 0.
Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.
x + 1 = 3y + 12, отсюда y = (1/3)x – (11/3).
-2x - 2 = 3z – 3, отсюда z = (-2/3)x + (1/3).
Подставим их в уравнение плоскости.
3x + ((1/3)x – (11/3)) – 2((-2/3)x + (1/3)) – 5 = 0,
3x + (1/3)x – (11/3) + (4/3)x – (2/3) – 5 = 0,
(14/3)x = 28/3,
x = 28/14 = 2,
y = (1/3)*2 – (11/3) = -9/3 = -3,
z = (-2/3)*2 + (1/3) = -3/3 = -1.
Найдена точка М пересечения перпендикуляра из точки D с плоскостью ABC.
Это и есть проекция точки D на плоскость АВС.
М(2; -3; -1).
cos(γ)=0,925, γ≈22°.
Объяснение:
Пусть АВ=2 см, AC=4 см и BC=5 см. Пусть α, β, γ - углы соответственно при вершинах A, B, C треугольника. Для нахождения косинусов углов используем теорему косинусов:
1. BC²=AB²+AC²-2*AB*AC*cos(α), откуда следует уравнение 25=4+16-2*2*4*cos(α), или 25=20-16*cos(α). Отсюда 16*cos(α)=-5 и cos(α)=-5/16. Тогда α=arccos(-5/16)≈108°.
2. AC²=AB²+BC²-2*AB*BC*cos(β), откуда следует уравнение 16=4+25-2*2*5*cos(β), или 16=29-20*cos(β). Отсюда 20*cos(β)=13 и cos(β)=13/20. Тогда β=arccos(13/20)≈49°.
3. AB²=AC²+BC²-2*AC*BC*cos(γ), откуда следует уравнение 4=16+25-2*4*5*cos(γ), или 4=41-40*cos(γ). Отсюда 40*cos(γ)=37 и cos(γ)=37/40. Тогда γ=arccos(37/40)≈22°
Проверка: сумма углов треугольника должна быть равна 180°. В нашем случае α+β+γ≈108°+49°+22°=179°≈180°, так что углы найдены верно.
Таким образом, наименьшим углом является γ. Его косинус равен 37/40=0,925, а его градусная величина - ≈22°.
