Дано:
АВС - тругольник;
ВD = 12 см - высота АВС;
АD = 5 cм;
CD = 9 см.
Найти: S (ABC), AB, BC.
1) АC = AD + CD = 5 см + 9 см = 14 см.
2) S (ABC) = 0,5 • АС • BD = 0,5 • 14 см • 9 см = 7 см • 9 см = 63 кв. см.
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВD (т. к. BD - высота АВС => угол ADB = 90°):
▪По теореме Пифагора:
АВ^2 = АD^2 + BD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 => АВ = корню из 169 = 13 см.
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник СВD (т. к. BD - высота АВС => угол СDB = 90°):
▪По теореме Пифагора:
ВС^2 = CD^2 + BD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 => ВС = корню из 225 = 15 см.
ответ: 63 кв. см; 13 см; 15 см.
Даны координаты треугольника АВС А(3;2) В(11;8) С(15;-3).
а) Длины,уравнения и угловые коэффициенты сторон АВ и АС .
Векторы: АВ = (8; 6), АС = (12; -5).
Длины: АВ = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
АС = √(12² + (-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
Угловые коэффициенты прямых равны: к = Δу/Δх.
к(АВ) = 6/8 = 3/4 = 0,75.
к(АС) = -5/12.
б) Внутренний угол А треугольника АВС.
cos A = (8*12 – 5*6)/(10*13) = 33/65.
A = 1,038292 радиан или 59,49 градуса.
в) Длина и уравнение высоты СD.
Угловой коэффициент прямой СD равен: к(СD) = -1/к(АВ) = -1/(3/4) = -4/3.
Уравнение СD имеет вид: у = (-4/3)х + в. Для определения параметра «в» подставим координаты точки С: -3 = (-4/3)*15 + в, в = –3 + (60/3) = 17.
Уравнение высоты СD: у = (-4/3)х + 17.
Длина высоты СD рассчитывается по формуле:
D = |(y2-y1)*x0 – (x2-x1)*y0 + x2y1 – y2x1|/√((y2-y1)² + (x2-x1)²).
Она выведена на основе формулы d = 2S/|AB|.
Подставив данные, получаем длину СD: d = 11,2.
г) Координаты точки D и уравнение прямой, проходящей через точку D параллельно стороне АС.
Находим уравнение стороны АВ.
(х −3)/8 = (y−2)/6 ⇔ 3x−4y−1=0.
С угловым коэффициентом уравнение АВ: у = (3/4)х – (1/4).
Координата точки D находится как точка пересечения прямых АВ и СD.
(3/4)х – (1/4) = (-4/3)х + 17.
(25/12)х = (69/4)0 отсюда:
х(D) = 207/25 = 8,28.
y(D) = (3/4)*8,28 – (1/4) = 5,96.
В уравнении прямой DР, проходящей через точку D параллельно стороне АС, угловой коэффициент равен такой же, как и у АС, то есть к(DР) = к(АС) = -5/12.
Уравнение имеет вид: у = (-5/12)х + в. Для определения параметра "в" подставим координаты точки D: 5,96 = (-5/12)*8,28 + в, отсюда в = 5,96 + 3,45 = 9,41.
Уравнение DР: у = (-5/12)х + 9,41.
д) Точка пересечения медианы треугольника АВС ? с чем? и к какой. стороне?
е) Площадь треугольника АВС двумя
1. По формуле Герона.
Находим длины сторон.
с =АВ = √((хВ – хА)² + (уВ – уА)²) = √((11 – 3)² + (8 – 2)²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
а =ВС = √((хС – хВ)² + (уС – уВ)²) = √((15 – 11)² + (-3 – 8)²) = √(4² +(-11)²) = √(16 + 121) = √137 ≈ 11,7047.
b =АС = √((хС – хА)² + (уС – уС)²) = √((15 – 3)² + (-3 – 2)²) = √(12² +(-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13.
Полупериметр треугольника равен: р = (10+ 11,7047 + 13)/2 = 17,35235.
Площадь треугольника по формуле Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Подставив данные, получим S = 56 кв.ед.
2. По векторам.
Площадь равна половине модуля векторного произведения АВ и АС.
Векторы: АВ = (8; 6), АС = (12; -5).
i j k | i j
8 6 0 | 8 6
12 -5 0 | 12 -5 = 0i + 0j – 40k – 0j + 0i – 72k = -112k.
S = (1/2)*|-112| = 56 кв.ед.
3. Можно принять третий вариант – по двум сторонам и углу между ними.
Найден угол A = 59,49 градуса и 2 примыкающие стороны: АВ = 10 и АС = 13.
S = (1/2)*10*13*sin A = (1/2)*10*13*0,861538 = 56 кв.ед.
АМ = МК по условию.
В четырехугольнике АВКС диагонали АК и ВС точкой пересечения М делятся пополам, значит это параллелограмм по признаку.