Стороны треугольника = 7, 15, 20 см, а расстояние от плоскости треугольника до центра шара, который касается всех его сторон, равняется: а)2√3 б)3√5 Найдите радиус шара.
Всякое сечение шара плоскостью - круг. Плоскость треугольника пересекается с шаром по окружности, вписанной в данный треугольник. Точки касание сторон и шара - точки касания вписанной в треугольник окружности. Чтобы найти радиус шара, нужно найти длину отрезка, соединяющего его центр с точкой касания со стороной треугольника. Пусть радиус шара ОС будет R, радиус О₁С вписанной в треугольник окружности - r , расстояние от центра шара до плоскости треугольника ОО₁- а.Тогда по т.Пифагора R=√(a²+r²) Радиус вписанной в треугольник окружности найдем по формуле r=S/p, где S - площадь треугольника, р- его полупериметр. p=(7+15+20):2=21 По формуле Герона площадь треугольника S=√21*(21-20)*(21-15)*(21-7)=√(21*1*6*14)=√(3*7*2*3*2*7)=2*3*7=42 r=42/21=2
Vпир=(1/3)*Sосн*h Sбок=(1/2)*Pосн*l, где Sосн - площадь основания (правильный треугольник), h - высота пирамиды, Pосн - периметр основания, l - апофема=боковое ребро пирамиды.
Sосн=
Sбок=
Найдём объём пирамиды. Пусть SABC - пирамида, SO=h - её высота. Проведём СМ - высоту в равностороннем треугольнике основания (она также будет являться медианой) и медиану BL. Тогда точка O окажется в точке пересечения медиан. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то есть CO=(2/3)CM. Из прямоугольного треугольника CMB найдём . Тогда . По теореме Пифагора в ΔSOC: .
. Тогда 
. По теореме Пифагора в ΔSOC: 
. 
