Обозначим соседние стороны параллелограмма за x и x+6 (в параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому разность противоположных сторон равна 0). Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме соседних сторон, тогда 52=(x+x+6)*2, 52=4x+12, x=10. Таким образом, стороны параллелограмма равны 10 и 10+6=16.
Из т. A опустим перпендикуляр на прямую DE (см. прикрепленный рисунок). Пусть AH - этот перпендикуляр, (длину которого и требуется найти в задаче). Тогда AH⊥DE. Проведем отрезок CH в плоскости CDE. Т.к. по условию AC⊥CDE, то AH - наклонная, а AC - перпендикуляр (к плоскости CDE). И AH⊥DE (по построению), тогда по теореме обратной теореме "о трёх перпендикулярах", получаем, что DE⊥CH. Таким образом CH - это высота прямоугольного равнобедренного треугольника CDE. Найдем CH. Для этого найдем DE по т. Пифагора: DE² = CE² + CD² = (12√2)² + (12√2)² = 2*12² + 2*12² = 4*12², DE = √(4*12²) = 2*12. Т.к. треугольник CDE - равнобедренный, то его высота CH является и медианой. Поэтому DH = EH = DE/2 = 2*12/2 = 12. По т. Пифагора для ΔCDH. CH² = CD² - DH² = (12√2)² - 12² = 2*12² - 12² = 12², CH = √(12²) = 12. Т.к. AC⊥пл.CDE, то AC⊥CH, и ΔACH прямоугольный, ∠ACH = 90°. По т. Пифагора для ΔACH: AH² = CH² + AC² = 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369, AH = √(1369) = 37. ответ. 37 дм.
Центр О описанной около треугольника АВС окружности лежит в точке пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника. Поэтому проводим высоту ВК к основанию АС (равную 8 дм) и высоту АЕ к боковой стороне ВС. Тогда отрезки ОВ и ОА равны как радиусы описанной окружности. Обозначим их за х. Тогда ОК = ВК - ВО = 8 - х. В прямоугольном треугольнике АВК катет АК найдём по теореме Пифагора: АК*АК = 10*10 - 8*8 = 36, значит АК = 6 дм. Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику АОК: гипотенуза АО = х, катет АК = 6 дм, катет ОК = 8 - х. Составляем уравнение: х*х = 6*6 + (8 - х)*(8 - х); х*х = 36 + 64 - 16х + х*х; 16х = 100; х = 6,25 (дм). ответ: R = 6,25 дм.
