Question

Точка а(2; 0) является вершиной квадрата, диагональ bd которого лежит на прямой l: 2x-3y+6=0. составить уравнение второй диагонали и сторон квадрата.

Answer 1

Две прямые, заданные уравнениями $y_1=k_1x+b_1$ и $y_2=k_2x+b_2$ , будут перпендикулярны тогда и только тогда, когда $k_1\cdot k_2=-1$ . Коэффициенты $k_1$ и $k_2$ называются угловыми коэффициентами.
Мы имеем диагональ $BD$ , которая лежит на прямой $2x-3y+6=0$ . Приведём уравнение этой прямой в нужный нам вид:
$2x-3y+6=0 \\ 3y=2x+6 \\ y= \dfrac{2}{3} x+2$ .
Здесь угловой коэффициент равен $k_1= \dfrac{2}{3}$ . 
Пусть диагональ $AC$ лежит на прямой $y_2=k_2x+b_2$ .Тогда, т.к. диагонали в квадрате перпендикулярны, $\dfrac{2}{3} \cdot k_2=-1$ , откуда $k_2= -\dfrac{3}{2}$ . Т.е диагональ $AC$ лежит на прямой $y_2=- \dfrac{3}{2} x+b_2$ . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку $A(2;0)$ . Исходя из этого составим уравнение:$0=- \dfrac{3}{2} \cdot2+b_2$ , откуда $b_2=3$ . Мы получили уравнение прямой, на которой лежит диагональ $AC$ - это прямая $y=- \dfrac{3}{2} x+3$ или, что то же самое, $2y+3x-6=0$ .

Теперь к уравнениям сторон.

Две прямые, заданные уравнениями $y_1=k_1x+b_1$ и $y_2=k_2x+b_2$ , пересекаются под углом $\alpha$, тангенс которого равен $\tan \alpha = \dfrac{k_2-k_1}{1+k_1\cdot k_2}$ . Причём при $1+k_1\cdot k_2=0$ они перпендикулярны.
Угол между диагональю и смежной стороной в квадрате равен $45^\circ$ . Пусть сторона $AB$ лежит на прямой $y_3=k_3x+b_3$. Получается, нам нужно, чтобы прямая $AC$ при пересечении с прямой $y_3=k_3x+b_3$ образовывала угол в $45^\circ$. (А сторона $AC$ лежит на прямой $y=- \dfrac{3}{2} x+3$ .)
Исходя из всего этого, составим и решим уравнение:
$\tan 45^\circ= \dfrac{-\frac{3}{2}-k_3 }{1-k_3\cdot \frac{3}{2} } \\ 1 = \dfrac{-\frac{3}{2}-k_3 }{1-k_3\cdot \frac{3}{2} } \\ -\dfrac{3}{2}-k_3 =1-k_3\cdot \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{5}{2} k_3= \dfrac{1}{2} \\ k_3=5$
Мы получили, что сторона $AB$ лежит на прямой $y_3=5x+b_3$ . Но мы также знаем, что эта прямая проходит через точку $A(2;0)$ . Получаем, что $0=5\cdot2+b_3$ , откуда $b_3=-10$ . Значит, сторона $AB$ лежит на прямой $y=5x-10$ .

Найдём координаты вершины $B$ - это точка пересечения диагонали $AB$ и стороны $BD$ :
$\dfrac{2}{3} x+2=5x-10 \\ 12= \dfrac{13}{3} x \\ x= \dfrac{36}{13} \\ y= \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{36}{13} +2= \dfrac{50}{13}$
Получили координаты вершины $B(\dfrac{36}{13} ; \dfrac{50}{13}) .$

Пусть прямая, на которой лежит сторона $CB$, имеет вид $y_4=k_4x+b_4$. Она перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона $BA$ . Отсюда, по вышеприведённому методу, найдём уравнение прямой, на которой лежит сторона $CB$ :
$k_4\cdot5=-1 \\ k_4=- \dfrac{1}{5} \ ; \\ \dfrac{50}{13}= - \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{36}{13}+b_4 \\ b_4= \dfrac{2}{5}$
Получили, что сторона $CB$ лежит на прямой $y=- \dfrac{1}{5} x+ \dfrac{22}{5}$.

$BC$ параллельна $AD$, отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение прямой, на которой лежит сторона $AD$ : 
$0=- \dfrac{1}{5} \cdot2+b_5 \\ b_5= \dfrac{2}{5}$
Получили уравнение $AD$ : $y=- \dfrac{1}{5} x+ \dfrac{2}{5}$ .

Найдём координаты точки $C$ :
$- \dfrac{1}{5} x+ \dfrac{22}{5} =- \dfrac{3}{2} x+3 \\ \dfrac{13}{10} x= -\dfrac{7}{5} \\ x= -\dfrac{14}{13} \\ y=- \dfrac{3}{2} \cdot (-\dfrac{14}{13}) +3= \dfrac{60}{13}.$

$CD$ параллельна $AB$, отсюда следует, что угловые коэффициенты этих прямых равны. Находим уравнение стороны CD:
$\dfrac{60}{13}=5\cdot (-\dfrac{14}{13})+b_5 \\ b_5=10$
Получили, что сторона $CD$ лежит на прямой $y=5x+10 .$