Из точки а проведены две прямые, одна касается окружности в точке в, а другая пересекает окружность в точках d и c, точка d лежит между точками а и с. известно, что bd = 3, bc = 4, cos (а) =7/8. найти ав и радиус окружности
Треугольники АВС и АВD подобны по двум углам: <A у них общий, а <B=<C, так как <C=0,5 градусной меры дуги BD,как вписанный а <ABD=0,5 градусной меры дуги BD как угол между касательной и хордой BD. Из подобия имеем: АВ/АС=BD/BC=3/4. Следовательно, можем сказать, что АВ=3х, а АС=4х. Тогда по теореме косинусов из треугольника АВС имеем: ВС²=АВ²+АС² - 2*АВ*АС*CosA или 16=9х²+16х²-2*12х²*(7/8) => 16=4х². х=2. АВ=6, АС=8. По теореме о касательной и секущей АВ²=АС*AD => AD=36/8, DC=AC-AD = 7/2 =3,5. Площадь треугольника BCD по Герону при полупериметре р=5,25:
Пусть основание равно Х, тогда боковая сторона равна (Х-9). В треугольнике, образованном высотой, проведенной к основанию, боковой стороной и половиной основания (данный нам треугольник равнобедренный) биссектриса угла при основании делит эту высоту в отношении 5:4, значит по свойству биссектрисы: "Биссектриса делит сторону, противолежащую углу в отношении сторон, образующих данный угол", имеем: (Х-9)/(Х/2)=5/4 или (9-Х)*2/Х=5/4. Тогда 8Х-72=5Х, отсюда Х=24. Итак, по Пифагору искомая высота равна √[(Х-9)²-(X/2)²]=√(15²-12²)=9см. ответ: высота, проведенная к основанию, равна 9см.
Пусть основание равно 6х, тогда боковая сторона равна 5х. Высота к основанию равнобедренного треугольника является также медианой, значит делит основание на части по 3х каждая. Запишем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников: Основание равно 6х=6*2,5=15, боковые стороны равны 5x=12,5. Площадь треугольника с одной стороны равна полупроизведению высоты на основание S=1/2*15*10=75. С другой стороны площадь треугольника равна произведению длин сторон разделить на четыре радиуса описанной окружности, то есть: ответ: 7,8125
Треугольники АВС и АВD подобны по двум углам: <A у них общий, а <B=<C, так как <C=0,5 градусной меры дуги BD,как вписанный а <ABD=0,5 градусной меры дуги BD как угол между касательной и хордой BD. Из подобия имеем: АВ/АС=BD/BC=3/4. Следовательно, можем сказать, что АВ=3х, а АС=4х. Тогда по теореме косинусов из треугольника АВС имеем: ВС²=АВ²+АС² - 2*АВ*АС*CosA или 16=9х²+16х²-2*12х²*(7/8) => 16=4х². х=2. АВ=6, АС=8. По теореме о касательной и секущей АВ²=АС*AD => AD=36/8, DC=AC-AD = 7/2 =3,5. Площадь треугольника BCD по Герону при полупериметре р=5,25:
Sbcd = √(5,25*1,25*2,25*1,75)≈ 5,08.
R=a*b*c/4S или R = 3*4*3,5/(4*5,08) = 2,067.
ответ: АВ=6, R=2,067.