Пусть данные плоскости а и b.
А ∈ а, В ∈ b.
АН⊥СН, ВС⊥СН
ВН - проекция АВ на плоскость b,
АС - проекция АВ на плоскость а.
∆ АСН - прямоугольный, ∠АНС=90°
По т.Пифагора АН²=АС²-СН²=256-144=112
АН перпендикулярен линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей, следовательно, АН перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости b и проходящей через Н.
∆ АНВ - прямоугольный. ∠АНВ=90°
По т.Пифагора АВ²=АН²+ВН²=512
АВ=√512=16√2
Или:
∆ СНВ - прямоугольный, ∠ВСН=90° ⇒
По т.Пифагора СВ²=ВН²-СН²=400-144=256
ВС=√256=16
∆ АСВ- прямоугольный. ∠АСВ=90°
По т.Пифагора АВ² = АС² +ВС² =256+256=512⇒
АВ=√512=16√2
Соединим середины сторон четырехугольника.
Полученные отрезки параллельны диагоналям и равны их половинам, так как являются средними линиями в соответствующих треугольниках.
Отрезки образуют параллелограмм Вариньона.
Площадь четырехугольника Sч =1/2 d₁d₂ sinф
Угол ф между диагоналями четырехугольника равен углу между сторонами пар-ма Вариньона (т.к. они параллельны).
Площадь пар-ма Вариньона Sв =d₁/2 *d₂/2 *sinф =1/2 Sч
Итак, площадь пар-ма Вариньона равна половине площади четырехугольника.
В данном четырехугольнике диагонали равны, следовательно стороны пар-ма Вариньона равны и он является ромбом.
Диагонали ромба перпендикулярны, sin90=1.
Sч =2 Sв =2 *1/2 *14*8 =112
41 ; 139 ;41 ; 139