Question

Диагональ ромба abcd,противолежащая тупому углу равному 120 градусов составляет 32 корень из 3 см.p abcd=128 см найдите площадь ромба заранее

Answer 1

512√3 см²

Объяснение:

Выполним рисунок. Дан ромб АБСД, диагональ АС=32√3, диагональ ВД, т.О - точка пересечения диагоналей.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Значит, найдём его диагонали.

1 вариант решения

Рассмотрим ΔАВД.

Он - равносторонний.

Докажем это утверждение. АВ=АД как стороны ромба, значит ΔАВД-равнобедренный с основанием ВД и равными ∠АВД=∠АДВ.

∠АВД=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, значит ΔДАВ=180-60-60=60°. Все три угла равны, значит доказано, что ΔАВД - равносторонний.

Тогда ВД=АВ=АД.

Т.к. у ромба все стороны равны и их 4, то длина стороны ромба равна периметру ромба, делённому на 4: 128/4=32 см.

Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 32 / 2 = 512√3 см².

2 вариант решения.

Рассмотрим ΔАВО.

Он - прямоугольный с

гипотенузой АВ, равной стороне ромба,

∠ВОА=90° т.к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом

и катетами АО и ВО, равными соответственно половинам диагоналей АС и ВД, т.к диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам,

∠АВО=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°.

Найдём ВО. Эту величину можно найти 2-мя путями.

ВО=АВ*cos∠ABO = Р/4 * cos 60° = 32 * 0.5 = 16 см  или

ВО=АО*ctg∠ABO = 16√3 * 1/√3 = 16 см.

Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 16 * 2 / 2 = 512√3 см².

Наличие такого количества решений возникло по причине избыточности условия. Эту задачу можно было бы решить не зная величины периметра ромба, либо без длины диагонали. Ключевое условие здесь, это значение угла , равное 120°.