Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника - это отрезки гипотенузы, на которые ее делит высота, т.к. высота - перпендикуляр к прямой ( гипотенузе), а катеты – наклонные из вершины прямого угла.
Катет - среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на неё .
В треугольнике на рисунке приложения
Катет Вс=30 см, а ВН=18 - его проекция на гипотенузу.
BC²=АВ•НВ
900=АВ•18
АВ=900:18=50 см
Высота, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на подобные. Из подобия следует отношение:
АН:АС=АС:АВ
АН=50-18=32
32:АС=АС:50 ⇒ АС²=32•50
АС=√1600=40 см
-----------
Если обратить внимание на отношение катета и гипотенузы 3:5 в ∆ ВСН, увидим, что этот треугольник - египетский. Отсюда следует АВ=50 см, (т.к. меньший катет=30). а АС=40 см. Получим длины сторон треугольника, отношение которых 3:4:5.
с² = a²+b²-2ab·cos∠C
(3√3)² = 3²+6²-2·3·6·cos∠C
27 = 9+36-36·cos∠C
-18 = -36·cos∠C
1/2 = cos∠C
∠C = arccos(1/2) = 60°
Теперь для угла А
a² = b²+c²-2bc·cos∠A
3² = 6²+(3√3)²-2·6·3√3·cos∠A
9 = 36+27-36√3·cos∠A
-54 = -36√3·cos∠A
6 = 4√3·cos∠A
3 = 2√3·cos∠A
√3/2 = cos∠A
∠A = arccos (√3/2) = 30°
∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180 - 30 - 60 = 90°