Дан треугольник abc. на стороне ab выбрана точка k, а на отрезке ck - точка l так, что ak=kl=1/2 kb. известно, что угол саb= 45 градусов, угол скb=60 градусов. доказать, что al=bl=cl
Найдём угол AKC=180-BKC=120 , так как AK=KL то LAK=(180-120)/2=30 , то есть LAC=45-30=15 , тогда как LCA=180-(AKC+LAK)=15 откуда ALC равнобедренный AL=CL , положим BK=2x , тогда по условию AK=KL=x , по теореме косинусов BL=sqrt(4x^2+x^2-2x*x*cos60)=x*sqrt(3) , Аналогично AL=sqrt(2x^2-2x^2*cos120)=x*sqrt(3) То есть BL=AL=CL .
<A+<KMC=180 Сумма углов в четырехугольнике равна 360,следовательно <C+<AKM=180 Если суммы противоположных углов равны,то вокруг четырехугольника можно описать окружность. <AKC=<AMC-опираются на одну дугу АС <KCM=<KAM-опираются на одну дугу KM <AOK=<COM-вертикальные,значит дуга АК равна дуге МС Следовательно <MAC=<KCA Значит <A=<C и <K=<M Отсюда ABCD равнобедренная трапеция,основания параллельны. ΔВАС тоже равнобедренный и АВ=АС Следовательно <BKM=<BAC,<BMK=<BCA-соответственные Тогда ΔBCA∞ΔKBM Отсюда KM/AC=BK/BC
LAK=(180-120)/2=30 , то есть LAC=45-30=15 , тогда как LCA=180-(AKC+LAK)=15 откуда ALC равнобедренный AL=CL , положим BK=2x , тогда по условию AK=KL=x , по теореме косинусов
BL=sqrt(4x^2+x^2-2x*x*cos60)=x*sqrt(3) ,
Аналогично
AL=sqrt(2x^2-2x^2*cos120)=x*sqrt(3)
То есть BL=AL=CL .