Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45* к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.
Всякое пересечение шара плоскостью есть круг. Так как плоскость проходит через конец диаметра, то одна точка образовавшегося круга принадлежит ему и диаметру.
Граница круга – окружность, проведем хорду в ней так, чтобы одна точка принадлежала концу диаметра шара, а другую так, чтобы в итоге хорда пересекала центр окружности.
Разделим диаметр шара пополам и соединим точку, являющуюся его серединой, с точкой хорды окружности, но не принадлежащей диаметру. Образуется треугольник, две стороны которого равны, так как являются радиусами шара, это в свою очередь следует из того, что оба соединяют его центр с одной из точек поверхности шара.
Угол между основанием и одной боковой стороной, нам известен, он равен углу между плоскостью и диаметром шара – 45*.
Соответственно и второй угол при основании будет равен 45*, а третий – 90*, согласно теореме о сумме углов треугольника.
Из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике можно легко найти диагональ сечения:
a = b : cos 45* a = b : sqrt(0,5)
b нам известен, это половина диаметра шара - его радиус. a = m : sqrt(0,5) = sqrt(2)m
Длина окружности рассчитывается по формуле: l = 2nR l = (sqrt(2) * m : 2) * 2 * n l = sqrt(2)mn
По условию 90º< угол В <180º, следовательно, этот угол тупой. Площадь треугольника можно найти половиной произведения сторон, умноженной на синус угла между ними. S ABC=AB*BC*sin∠B:2 3√3=4√3*3*sin∠B):2 1=2*sin∠B sin∠B=1/2 - это синус 30º и 150º, но по условию угол В тупой, значит, он равен 150º ∠B=150º Из вершины А проведем перпендикуляр к продолжению СВ до пересечения с ней в точке К. Треугольник АКВ - прямоугольный, угол АВК смежный с углом АВС угол АВК= 180º-150º=30º КВ противолежит углу 60º. КВ=АВ*sin 60º КВ=4√3*(√3):2=6 КС=КВ+ВС=9 АК противолежит углу 30º АК=АВ*sin30º=4√3*0,5=2√3 По т. Пифагора гипотенуза прямоугольного треугольника АКС АС²=АК²+КС²= 12+ 81=93 АС=√93=√31*√3 Площадь △АВС=АС*ВН:24√3= √31*√3*BH:2 8=√31*BH ВН=8/√31
