Question

10 класс. решите и объясните каждое . 1. укажите, какие понятия являются неопределяемыми в планиметрии. (1б) 2. как по законам параллельного проектирования выглядит на рисунке изображение равностороннего треугольника с его медианой? (1б) 3. верно ли, что четыре точки не лежат в одной плоскости? ответ объясните.(2б) 4. через точки а, b и c можно провести две различные плоскости. каково взаимное расположение этих точек? ответ объясните. (2б) 5.дан куб 1111. а)укажите какую-нибудь прямую, которая проходит через точку 1 и скрещивается с прямой 1. ответ обоснуйте. (2б) б) каково взаимное расположение прямых и 11? ответ объясните. (1б) в) как расположена по отношению к плоскости прямая , параллельная прямой 11? ответ обоснуйте. (1б) 6. плоскость проходит через основание трапеции . точки и – середины боковых сторон трапеции . а) докажите, что прямая параллельна плоскости . (1б) б) найдите , если = 4, = 6. (1б) 7. параллелограммы и 11 не лежат в одной плоскости. докажите параллельность плоскостей 1 и 1. ( 2б) 8. дан тетраэдр . ∈ , ∈ , ∈ . а) постройте точку пересечения с плоскостью . (1б) б) постройте линию пересечения плоскости и плоскости . (1б) 9. концы двух равных перпендикулярных отрезков и лежат на двух параллельных плоскостях. а) при каком дополнительном условии пересечения отрезков является квадратом? (2б) б) докажите, что если не является квадратом, то - трапеция, в которой высота равна средней линии. (2б) 10. дан куб 1111.точка - середина ребра 11. найдите косинус угла между прямыми и 1. (5б)

Answer 1

ъясните. (1б)
в) Как расположена по отношению к плоскости прямая , параллельная прямой
11? ответ обоснуйте. (1б)
6. Плоскость проходит через основание трапеции . Точки и – середины
боковых сторон трапеции .
а) Докажите, что прямая параллельна плоскости . (1б)
б) Найдите , если = 4, = 6. (1б)
7. Параллелограммы и 11 не лежат в одной плоскости. Докажите
параллельность плоскостей 1 и 1.
( 2б)
8. Дан тетраэдр . ∈ , ∈ , ∈ .
а) Постройте точку пересечения с плоскостью . (1б)
б) Постройте линию пересечения плоскости и плоскости . (1б)
9. Концы двух равных перпендикулярных отрезков и лежат на двух параллельных
плоскостях. а) При каком дополнительном условии пересечения
отрезков является квадратом? (2б) б)
Докажите, что если не является квадратом, то - трапеция, в которой высота
равна средней линии. (2б)
10. Дан куб 1111.Точка - середина ребра 11. Найдите косинус угла между
прямыми и 1. (5б)

Answer 2

1. Неопределяемые понятия в планиметрии - это понятия, которые нельзя однозначно определить или выразить с помощью других понятий. Примеры таких понятий в планиметрии:
- Точка: точка - это элементарное понятие, которое не может быть определено более простым способом. Оно описывает местоположение без размера или формы.
- Прямая: прямая - это ряд точек, которые лежат в одном направлении и не имеют начала или конца. Прямая не может быть определена с использованием других понятий.
- Плоскость: плоскость - это множество точек, которое не имеет толщины и простирается бесконечно во всех направлениях. Плоскость также не может быть определена с использованием других понятий.

2. В рамках законов параллельного проектирования, если мы хотим изобразить на плоскости равносторонний треугольник с его медианой, мы должны провести параллельные прямые, соединяющие концы медианы с вершинами треугольника. Таким образом, получится изображение равностороннего треугольника, где его медиана будет параллельна одной из сторон треугольника и делит ее пополам.

3. Четыре точки могут лежать либо в одной плоскости, либо в различных плоскостях. Для того чтобы определить их взаимное расположение, нам необходимо провести все возможные линии и плоскости между этими точками. Если мы можем провести плоскость, содержащую все четыре точки, то они лежат в одной плоскости. Если же нет ни одной плоскости, которая содержит все четыре точки, то они лежат в различных плоскостях. Например, если у нас есть четыре точки, и мы можем провести плоскость, содержащую эти четыре точки, то они лежат в одной плоскости. А если мы не можем провести такую плоскость, то эти точки лежат в различных плоскостях.

4. Если через три точки A, B и C можно провести две различные плоскости, то это означает, что эти три точки не лежат на одной прямой и несопланарны. В таком случае, эти три точки определяют плоскости, которые пересекаются по отрезкам AB и AC.

5. (а) Чтобы найти прямую, которая проходит через точку 1 и скрещивается с прямой 1, мы можем продлить положительное направление прямой 1 так, чтобы оно пересекло прямую, соединяющую точку 1 с некоторой другой точкой на прямой 1. Таким образом, получаем прямую, которая проходит через точку 1 и скрещивается с прямой 1.

(б) Прямые и 11 взаимно пересекаются.

(в) Если прямая параллельна прямой 11, то она будет расположена в плоскости, параллельной плоскости, содержащей прямую 11. Это следует из свойств параллельных прямых, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости.

6. (а) Чтобы доказать, что прямая параллельна плоскости , мы можем воспользоваться теоремой о параллельности прямых и плоскостей, которая гласит: если прямая и плоскость перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Для этого необходимо доказать, что прямая и основание трапеции перпендикулярны к одной и той же прямой.

(б) Чтобы найти расстояние от точки P до плоскости , мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости: d = |ax + by + cz + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2), где a, b, c и d - коэффициенты плоскости, а x, y, z - координаты точки P. В данном случае, чтобы найти , мы должны подставить координаты точки P и коэффициенты плоскости в формулу и вычислить полученное значение.

7. Для доказательства параллельности плоскостей 1 и 1, мы можем воспользоваться свойством параллелограммов. Если параллелограммы и 11 не лежат в одной плоскости, то их диагонали AB и 11 не пересекаются и делятся пополам точками пересечения. Таким образом, получается, что прямая, проходящая через точки пересечения диагоналей AB и 11, будет параллельна плоскостям 1 и 1.

8. (а) Чтобы построить точку пересечения тетраэдра и плоскости , необходимо провести прямые из вершины, которая не принадлежит плоскости , перпендикулярно к граням тетраэдра. Точка пересечения этих прямых с плоскостью будет искомой точкой пересечения.

(б) Чтобы построить линию пересечения плоскости и плоскости , нужно провести прямую, которая является общей прямой пересечения этих двух плоскостей.

9. (а) Чтобы пересечение двух равных перпендикулярных отрезков AB и CD являлось квадратом, необходимо, чтобы угол между этими отрезками был прямым.

(б) Чтобы доказать, что если пересечение AB и CD не является квадратом, то ABCD - трапеция, в которой высота равна средней линии, можно воспользоваться свойством трапеции. В трапеции, средняя линия параллельна основаниям и равна полусумме оснований. Так как пересечение AB и CD не является квадратом, то AB и CD не перпендикулярны, и, следовательно, ABCD - трапеция. Высота трапеции равна средней линии.

10. Чтобы найти косинус угла между прямыми и 1, мы можем воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между двумя прямыми: cosθ = (a1a2 + b1b2 + c1c2) / (sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2) * sqrt(a2^2 + b2^2 + c2^2)), где a1, b1, c1 и a2, b2, c2 - коэффициенты уравнений этих прямых. Подставив соответствующие значения в формулу, мы сможем вычислить значение косинуса угла между прямыми.