1.
Обозначим радиус меньшей окружности буквой r, а большей - R.
По условиям задачи r/R=2/7.
Ширина полосы будет равна R-r и по условиям равна 24 (см), значит: R-r=24 (см), то есть R=r+24 (см).
С учетом полученного результата имеем:
r/r+24=2/7,
7r=2*(r+24),
7r=2r+48,
5r=48,
r=9,6 (см).
Так как R=r+24, то R=9,6+24=33,6(см).
Таким образом диаметр одной окружности будет равен D=2R=33,6*2=67,2(cм), а диаметр второй окружности будет равен
d=2r=9,6*2=19,2 (см).
2.
Расстояние между центрами окружностей - отрезок ОА делится точкой ка в отношении 2:3. Значит, отрезок ОА разделен на 2+3=5 равных частей. Причем ОК содержит 2 части, а КА - 3 части.
10 см : 5 = 2 см - длина каждой из равны частей.
Тогда ОК=2*2 = 4 см. Диаметр меньшей окружности равен 2*4=8 см.
АК = 3*2 = 6 см. Диаметр большей окружности равен 2*6 = 12 см.
Наверное вот так ...
Прилежащие к меньшему основанию углы равны 105°, значит, трапеция - равнобедренная, и вокруг нее можно описать окружность, как вокруг четырехугольника, сумма противоположных углов которого равна 180° (свойство).
Пусть центр описанной окружности - О.
Проведем через середины оснований высоту трапеции НК.
Середина ВС- Н, середина АD - К, и точка пересечения диагоналей - М.
Отрезок НК перпендикулярен основаниям, делит их пополам и проходит через центр окружности (свойство радиуса и хорды).
Сумма внутренних односторонних углов при пересечении параллельных оснований трапеции секущей АВ равна 180°.
Углы трапеции при основании АD равны 180°-105°=75°
Соединим вершины А и В трапеции с центром О окружности.
Треугольник АОВ - равнобедренный со сторонами, равными R.
Его углы при АВ равны ∠ СВА- ∠СВО=105°-60°=45°.
Следовательно, ∠ ОАК= ∠ВАК-∠ ВАО=75°- 45°=30°
В треугольнике ВОС с равными радиусу боковыми сторонами центральный угол ВОС опирается на ту же дугу, что вписанный угол ВDС, поэтому вдвое больше его (свойство).
∠ВОС=30°•2=60°, отсюда и углы при ВС=60°.
∆ ВОС - равносторонний, ВО=ОС=ВС=R=а.
Высота этого треугольника ОН=а•sin 60°=(а√3)/2
В ∆ ОАК противолежащий углу 30° катет ОК=АО:2=а/2.
Высота трапеции НК=НО+ОК=(а√3)/2+a/2=a•(√3+1):2
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований, т.е. на среднюю линию.
Высота равнобедренной трапеции, диагонали которой пересекаются под прямым углом, равна её средней линии.
Поэтому S=[a•(√3+1):2]• [a•(√3+1):2]=а²•(2+√3):2 (ед. площади)
***********************
Поскольку углы при ВС равны, трапеция АВСD- равнобедренная, и углы при АD равны 180°-105°=75°
Диагонали равнобедренной трапеции равны и при пересечении образуют с основаниями равнобедренные треугольники. По условию диагонали взаимно перпендикулярны, ⇒ ∆ ВМС и ∆ AMD - равнобедренные прямоугольные. Углы в этих треугольниках при ВС и AD равны 45°
Площадь трапеции равна произведению высоты на среднюю линию.
Высота h равнобедренной трапеции, чьи диагонали взаимно перпендикулярны, равна ее средней линии и равна сумме высот треугольников BMC и AMD.
h=НМ+МК. S=h²
НМ=0,5•BС=а/2 ( по свойству медианы и высоты равнобедренного прямоугольного треугольника)
МC=ВС•sin 45°= (a√2):2
MD=MC•tg60°=(a√2•√3):2
МК=MD•sin45º=[(a√2•√3):2]•√2/2=a√3/2
h=a/2+a√3/2=a•(1+√3)/2
S=[a•(1+√3)/2]²=а²•(2+√3):2 (ед. площади)
