Question

Высота конуса 8мм, образующая боковой поверхности 10 мм. найдите: 1. радиус вписанного шара; 2. длинну линии касания

Answer 1

Дано: в конус вписан шар;    h = OC = 8 мм;    AC = 10 мм
Найти: r - ?;   длину линии касания

Для решения нужно провести сечение конуса по диаметру основания, в сечении будет равнобедренный ΔBCA

ΔAOC - прямоугольный. По теореме Пифагора
OA² = AC² - h² = 100 - 64 = 36 = 6²
OA = 6 мм 

ΔBCA равнобедренный  ⇒     BA = 2·OA= 2·6 = 12  мм
Площадь треугольника
$S = \frac{BA*h}{2} = \frac{12*8}{2} = 48$
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
$S = pr = \frac{12+10+10}{2} *r = 48$
16r = 48    ⇒    r = 3 мм

Длина касания - это длина окружности
             с центром в точке P и радиусом KP
ΔDKC - прямоугольный, т.к. DK - радиус в точку касания K

ΔBOC подобен ΔCKD по двум углам, прямому и общему ∠KCD

$\frac{OB}{KD} = \frac{OC}{KC} \\ \\ KC = \frac{KD*OC}{OB} = \frac{3*8}{6} =4$

ΔBOC подобен ΔKPC по двум углам, прямому и общему ∠KCD

$\frac{BC}{KC} = \frac{BO}{KP} \\ \\ KP = \frac{KC*BO}{BC} = \frac{4*6}{10} =2,4$

Длина окружности с центром в точке Р
L = 2π·KP = 2·π·2,4 = 4,8π

ответ: радиус вписанного шара  3 мм;   
            длина линии касания 4,8π мм