Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB, и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB. Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD, ADC = BDC. Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана.
Пусть имеем трапецию ABCD
AB=CD=17
AD=44
AC=39
Найдем площадь треугольника ACD, для чего используем формулу Герона
S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),
где p=(a+b+c)/2
В нашем случае
a=17
b=44
c=39
p=(17+44+39)/2= 50
тогда
S=sqrt(50*(50-17)*(50-44)*(50-39))=sqrt(50*33*6*11)=sqrt(108900)=330
C другой стороны, если с вершины трапеции С опустить на AD перпендикуляр CК, то площадь треугольника ACD равна AD*CK/2, то есть
S=AD*CK/2 =>330=44*CK/2 => CK=660/44 => CK=15
Из прямоугольного треугольника CDK по теореме Пифагора, имеем
(KD)^2=(CD)^2-(CK)^2 => (KD)^2=289-225 => (KD)^2=64 => KD=8
KD=AM=8
BC=AD-(AM+KD) = 44-(8+8)=28
Далее находим площадь трапеции
S=(AD+BC)*CK/2 = (44+28)*15/2=540
