Вариант 1). Рассмотрим рисунок 1, данный в приложении. Пусть АВСD - данный квадрат, М - точка касания квадрата и сферы, О - центр сферы. По условию ОА=ОВ=ОС=ОD=8 см. По т. Пифагора R=ОМ=√(ОА²-МА²) Диагональ АС квадрата – гипотенуза двух равных прямоугольных равнобедренных треугольника с катетами 8 см и острыми углами 45°. и равна 8:sin45•=8√2. ⇒ AM=AC:2=4√2 ⇒ Искомый радиус OM=√(64-32)=4√2 см.
* * *
Вариант 2). Возможно, квадрат касается сферы сторонами. Тогда решение будет другим. (см. рис.2)
Квадрат, длина стороны которого равна 8 см, касается сферы (сторонами). Вычислите длину радиуса сферы, если известно, что её центр удалён от вершин квадрата на расстояние, равное 8 см.
Квадрат касается сферы в 4 точках, а плоскость квадрата отсекает от сферы круг, радиус которого равен радиусу окружности, вписанной в квадрат. Длина радиуса вписанной в квадрат окружности равна половине его стороны.
r=8:2=4 см
Пусть центр этой окружности (точка пересечения диагоналей квадрата) будет Н.
Расстояние от центра О сферы до вершины С квадрата равно гипотенузе прямоугольного треугольника ОНС, в котором НС - половина диагонали квадрата, ОН - расстояние от центра сферы до плоскости квадрата. (см. рисунок)
Диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на √2, т.е. 8√2. НС =(8√2):2=4√2
По т.Пифагора
ОH²=OC²-HC²64-32=32
Обозначим точку касания квадрата и сферы Р.
Тогда R=ОР=√(OH²+PH²)=√32+16)=√48=4√3 см
Расположим трапецию так, чтобы основания её были вертикальны. То есть меньшая боковая сторона АД станет основанием фигуры вращения АВСД. АВ=10, СД=15, ВС=13. Проведём ВК параллельно АД. Наглядно видно, что тело вращения вокруг вертикальной оси ДС состоит из конуса (проекция СВК) и цилиндра(проекция АВКД). Полная поверхность тела вращения состоит из боковой поверхности конуса+боковая поверхность цилиндра + площадь круга основания. Радиус R у всех этих фигур общий . КС=ДС-АВ=15-10=5. R=корень из(ВС квадрат -КС квадрат)= корень из(169-25)=12. Тогда полная поверхность тела вращения S=Sосн.+Sцил.+Sкон.=пи* Rквадрат+ 2пи *R*h+пи*R*l=пи*(R квадрат+2R*10+ R*13)=пи*(144+240+156)=540 *пи. Здесь l=ВС=13, h=АВ=10.