Question

Треугольник авс, bd - биссектриса, ав=5, вс=8, угол abc=45°, нужно найти площади abd и bdc

Answer 1

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin\frac{\pi}{4}=10\sqrt{2}$

Как известно, биссектриса делит сторону AC на отрезки AD и DC, пропорциональные боковым сторонам, то есть

$\frac{AD}{DC}=\frac{5}{8}.$

А поскольку в треугольниках ABD и DBC высоты, опущенные из вершины B, совпадают,

$\frac{S_{ABD}}{S_{DBC}}=\frac{AD}{DC}=\frac{5}{8},$

то есть площадь треугольника ABD составляет пять частей, а площадь треугольника DBC - восемь частей площади треугольника abc. Поэтому

$S_{ABD}=\frac{5}{13}S_{ABC}=\frac{5}{13}\cdot 10\sqrt{2}=\frac{50}{13}\sqrt{2};$

$S_{DBC}=\frac{8}{13}\cdot 10\sqrt{2}=\frac{80}{13}\sqrt{2}$