Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=4x-x^2 и y=3.

Answer 1

ответ:   $1\frac{1}{3}$ .

Объяснение:

y=4x-x² - парабола, ветви вниз, точки пересечения с ОХ: (0,0) и (4,0) , вершина в  точке (2,4) .

у=3 - прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0,3). Точки пересечения параболы и прямой:

$4x-x^2=3\; \; \to \; \; x^2-4x+3=0\; \; ,\; \; x_1=1\; ,\; x_2=3\; \; (teorema\; Vieta)\\\\\\S=\int\limits^3_1\, (4x-x^2-3)\, dx=(4\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-3x)\Big |_1^3=\\\\=2\cdot 9-9-9-(2-\frac{1}{3}-3)=0-(-\frac{1}{3}-1)=1\frac{1}{3}$

Answer 2

Графиком первой функции будет парабола, ветвями вниз, второй - прямая, параллельная оси ох, проходящая через точку (0;3)

Площадь фигуры, огранич. этими линиями считаем как определенный интеграл от разности(4х-х²-3). Найдем пределы интегрирования и подставим их в функцию 2х²-х³/3-3х.

4x-x² =3.  4x-x² -3=0 х²-4х+3=0. по теореме, обратной теореме Виета корнями будут  1 и 3. По формуле Ньютона - Лейбница найдем определенный интеграл 2*9-27/3-3*3-(2*1-1/3-3)=3+1/3-2=1 целая 1/3