Соединив данную точку с вершинами треугольника, получим треугольную пирамиду с равными (это вытекает из условия) рёбрами. Но тогда будут равны и их проекции на плоскость треугольника и на плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника. Так как вторые проекции лежат на прямых, проходящих через вершину пирамиды и пересекающих плоскость треугольника в одной точке (равноудалённой от вершин треугольника), то эти проекции совпадают). Но по условию через вершину пирамиды и данную точку проходит и данная в условии прямая. А это значит, что она совпадает с проекцией рёбер пирамиды на плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника. Но эта проекция, а вместе сней и данная прямая, перпендикулярна плоскости треугольника.
Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что ∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а ∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса получилось, что треугольник AKB - равнобедренный. Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K. Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
АК, ВМ и СТ - медианы треугольника АВС.
Надо доказать, что АК + ВМ + СТ < АВ + ВС + АС.
Отложим на луче АК отрезок КО = АК.
КО = АК по построению, ВК = КС, так как АК медиана.
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.
Значит АВОС - параллелограмм. Тогда ВО = АС.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, значит в треугольнике АВО: АО < AB + BO, а значит и 2АК < АВ + АС, т.е.
АК < 1/2 (АВ + АС)
Аналогично, построив параллелограммы с диагоналями, содержащими две другие медианы, докажем , что
ВМ < 1/2 (ВА + ВС) и
СТ < 1/2 (СА + СВ)
Сложим эти три неравенства:
АК + ВМ + СТ < 1/2 АВ + 1/2 АС + 1/2 ВА + 1/2 ВС + 1/2 СА + 1/2 СВ
АК + ВМ + СТ < АВ + АС + ВС
АК + ВМ + СТ < Рabc